Problemas Teoremas

Maio 29, 2009

Congruências e divisibilidade — Um Problema da Purdue University

Filed under: Caderno,Congruências,Matemática,Problem,Problemas,Purdue University,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 10:15 am
Tags: , ,

pdf: ver caderno

Versão portuguesa da entrada “Congruences and Divisibility– A Purdue University Problem“

Tradução do enunciado do Problema original [PROBLEM OF THE WEEK, Problem No. 12 (Spring 2009 Series)]:

« Para quantos inteiros positivos x\leq 10000 é que  2^{x}-x^{2} não é divisível por 7?

Justifique a sua resposta sem utilizar o computador. »

“For how many positive integers x\leq 10,000 is 2^{x}-x^{2} not divisible by 7?

Justify your answer without the use of computers.”

Eis a tradução da  minha resolução (aceite):

Se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\quad\left( \text{mod }m\right) . Esta propriedade aplicada a 2^{n} dá em geral, para n=3k+s,1\leq s\leq 3,0\leq k

2^{n}\equiv 2^{s}\quad\left( \text{mod }7\right) ,\quad (1)

o que significa que os restos da divisão de  2^{n} por 7 formam uma sucessão periódica de comprimento 3 com início em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{2,4,1}},\overset{3\text{ termos}}{\overbrace{2,4,1}},\ldots .

Quanto a n^{2}, dado que: a) se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) e c\equiv d\quad \left( \text{mod }m\right) , então a+c\equiv b+d\quad \left( \text{mod }m\right) e b) se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) , então a^{2}\equiv b^{2}\quad \left( \text{mod }m\right) , temos em geral, para n=7j+r,1\leq r\leq 7,0\leq j

n^{2}\equiv r^{2}\quad\left( \text{mod }7\right)\quad (2)

o que quer dizer que os restos da divisão de n^{2} por 7 formam uma sucessão  periódica  de comprimento 7 que começa em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{1,4,2,2,4,1,0}},\overset{7\text{ termos}}{\overbrace{1,4,2,2,4,1,0}},\ldots .

Se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) e c\equiv d\quad \left( \text{mod }m\right) , então a-c\equiv b-d\quad \left( \text{mod }m\right) . Seja u_{n}=2^{n}-n^{2}. Em consequência de (1) e (2) obtemos

u_{n}\equiv 2^{s}-r^{2}\quad \left( \text{mod }7\right) .\quad (3)

Os restos da divisão de  u_{n} por 7 formam outra sucessão periódica de comprimento 21=\text{mmc}(3,7) que se inicia também em n=1. Apresentamos abaixo quatro exemplos da determinação destes restos.

Para 1\leq n\leq 21 os seguintes 15 termos não são divisíveis por 7:

u_{1},u_{3},u_{7},u_{8},u_{9},u_{11},u_{12},u_{13},u_{14},u_{16},u_{17},u_{18},u_{19},u_{20},u_{21}.

Assim para 1\leq n\leq 9996=21\times \left\lfloor \dfrac{10000}{21}\right\rfloor , há 15\times\left\lfloor \dfrac{10000}{21}\right\rfloor =7140 termos que não são divisíveis por 7.

Dos restantes 4 termos u_{9997} e u_{9999}  não são divisíveis por 7, o que dá um total de 7140+2=7142 números u_{n}=2^{n}-n^{2} não divisíveis por 7.

Quatro exemplos do cálculo dos restos:

u_{9}=2^{9}-9^{2}

(9=3\times 2+3,s=3,9=7\times 1+2,r=2)

2^{9}\equiv 2^{3}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 1\quad\left(\text{mod }7\right)

9^{2}\equiv 2^{2}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 4\quad\left(\text{mod }7\right)

u_{9}\equiv 2^{3}-2^{2}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv -3\quad\left(\text{mod }7\right)

u_{10}=2^{10}-10^{2}

(10=3\times 3+1,s=1,10=7\times 1+3,r=3)

2^{10}\equiv 2^{1}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 2\quad\left(\text{mod }7\right)

10^{2}\equiv 3^{2}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 2\quad\left(\text{mod }7\right)

u_{10}\equiv 2^{1}-3^{2}\quad\left( \text{mod }7\right)\equiv 0\quad\left( \text{mod }7\right)

u_{9997}=2^{9997}-9997^{2}

(9997=3\times 3332+1,s=1,9997=7\times 1428+1,r=1)

2^{9997}\equiv 2^{1}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 2\quad\left(\text{mod }7\right)

9997^{2}\equiv 1^{2}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 1\quad\left(\text{mod }7\right)

u_{9997} \equiv 2^{9997}-9997^{2}\quad \left( \text{mod}7\right) \equiv 1\quad \left( \text{mod }7\right)

u_{9998}=2^{9998}-9998^{2}

(9998=3\times 3332+2,s=2,9998=7\times 1428+2,r=2)

2^{9998}\equiv 2^{2}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 4\quad\left(\text{mod }7\right)

9998^{2}\equiv 2^{2}\quad\left(\text{mod }7\right) \equiv 4\quad\left(\text{mod }7\right)

u_{9998} \equiv 2^{9998}-9998^{2}\quad \left( \text{mod}7\right) \equiv 0\quad \left( \text{mod }7\right)

Fevereiro 14, 2009

Enigma lógico com casas, pessoas, animais, …

Filed under: Caderno,Enigmas,Matemática — Américo Tavares @ 9:54 pm
Tags: , , ,

pdf: ver caderno

Arrumando papéis descobri uma folha com umas notas escritas por mim, na década de 1970, sobre um enigma do qual tomei conhecimento na altura, e que recentemente vi publicado na Internet, numa forma que não verifiquei se correspondia ao mesmo enunciado ou se era uma variante. 

enigmacasas

A lista de perguntas e a solução são as que tenho na minha folha [em 17-2-2009 acrescentei cópia].  Apenas a inicio com o próximo  parágrafo, que só agora escrevi.

Em cinco casas de cores diferentes situadas ao lado umas das outras, moram cinco pessoas. Cada  uma tem nacionalidade,  idade, profissão e  animal de estimação diferentes, e nenhuma das bebidas que tomam é a mesma.  Indicar para cada pessoa: a cor e ordem da casa,  o animal de que é dono, a respectiva nacionalidade, profissão, idade e o que bebe.

1 – o sexagenário da  casa azul detesta a tartaruga da casa ao lado;

2 – a pomba do polaco é muito bem tratada pelo seu dono;

3 – ontem o metalúrgico discutiu com o dono do cão que mora na casa ao lado, e apareceu o polícia da casa verde, que resolveu o assunto;

4 – o chileno mora na casa branca;

5 – bebe-se vinho na casa à direita da qual se guarda a pomba;

6 – o velho da primeira casa à esquerda bebe café;

7 – o cão do advogado brasileiro enfurece-se facilmente;

8 – na casa do meio bebe-se leite;

9 – guarda-se o peixe, ao lado da casa verde;

10 – o jovem que bebe whisky tem uma vida muito agitada;

11 – a casa azul fica à direita da casa amarela;

12 – o homem de meia-idade é vizinho do velho do gato;

13 – bebe-se chá ao lado da casa branca;

14 – o dono da casa azul é pescador;

15 – a casa vermelha é a mais próxima da casa branca;

16 – o americano mora ao lado do chinês; e

17 – o trintão não é vizinho do agricultor.

Chegue à solução, justificando.

Solução (sem justificação)

* * *

ADENDA DE 15-2-2009:

A propósito de enigmas, encontra-se no BibM@th, o quebra-cabeças Mathématiciens et nombres e respectivo link para a resposta, cujo enunciado transcrevo:

« Alexandre et Bertrand décident de continuer de jouer avec la secrétaire. Ils lui demandent de choisir deux nombres entre 2 et 100. Elle tend un papier à Alexandre en lui indiquant qu’il s’agit de la somme de ces deux nombres. Puis elle tend un papier à Bertrand avec le produit de ces deux nombres. Puis un discours toujours aussi étonnant :

    B : Ce produit ne me permet pas de déterminer quels sont ces deux nombres.
    A: Je le savais!
    B: Alors je connais ces 2 nombres.
    A: Dans ce cas, moi aussi!

Quels sont ces 2 nombres ??? »

 

Tomei conhecimento recentemente deste enigma, com um enunciado diferente, mas equivalente, no artigo Méta-énigme, de Pierre Bernard, publicado em 30-1-2009. Nele o autor refere que Stéphane Fischler o apresenta na sua página, que descobri remeter para a sub-página Une petite énigme… , onde existe o link ao BibM@th. No dia 13-2-2009 Pierre Bernard publicou uma resolução com as explicações matemáticas relevantes e o respectivo programa em Pascal, porém sem revelar quais são os dois números do enigma.

[Actualização de 16-2-2009: acrescentei a categoria e tag "Matemática" em virtude deste enigma dos dois números e não obviamente  por causa do enigma das casas. Alterei também o título]

Janeiro 30, 2009

Outro exercício de cálculo financeiro: série uniforme e recuperação de capital

Filed under: Caderno,Cálculo financeiro,Exercícios Matemáticos,Matemática — Américo Tavares @ 11:04 am
Tags: , , ,

pdf: ver caderno

Foram emprestadas 100 000 unidades monetárias à taxa de juro (nominal anual) de 7% capitalizada semestralmente. O reembolso será feito semestralmente, em capital e juros, durante 30 anos.

Qual a parte da dívida  que falta pagar ao fim de 10 anos?

No caso geral, teremos de  calcular o valor dos pagamentos constantes A dado o valor do capital principal P.

Durante n períodos, neste caso semestrais, são pagos A unidades monetárias em cada. O valor A do período k equivale ao valor presente de  \dfrac{A}{(1+i)^k} unidades monetárias, em que i é a taxa de juro em cada período de capitalização. Se somarmos em k, de 1 a n, obtemos o somatório

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k}.

Como noutros casos anteriores de cálculo financeiro já expostos, deparamo-nos com a soma de uma progressão geométrica, neste caso de razão c=\dfrac{1}{1+i} e primeiro termo u_1=\dfrac{A}{1+i}:

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}=\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^n-1}{ \dfrac{1}{1+i} -1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}

Esta soma há-de naturalmente ser igual a P:

P=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}

donde

A=P\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}

Regressando ao exemplo, o reembolso é feito em n=60 semestres, sendo a taxa i=7/2\% e P=100\;000, pelo que

A=100\;000\dfrac{0,035(1,035)^{60}}{(1,035)^{60}-1}=4009 unidades monetárias.

O valor do empréstimo ao fim de 20 semestres é

100\;000\times(1+0,035)^{20}=198\;979 unidades monetárias

As rendas pagas ao fim de 20 semestres correspondem ao valor futuro F da série de pagamentos semestrais A , no fim do período 20. Como vimos na formação de capital

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}

ou

F=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}

ou seja, neste caso

F=4009\times\dfrac{1,035^{20}-1}{0,035}=113\;373 unidades monetárias.

A dívida que falta pagar ao fim de 10 anos é então

198\;979-113\;373=85\;605 unidades monetárias.

Janeiro 22, 2009

Fórmula de reflexão (da função gama) de Euler

Filed under: Análise de Fourier,Análise Matemática,Caderno,Cálculo,Demonstração,Função Gama,Funções Especiais,Identidade matemática,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:32 am
Tags: , , ,

pdf: ver caderno

Gráfico de Γ(x) no intervalo ]-5,5]

gamanosreais

A função especial beta é definida para as variáveis reais x,y pelo integral

B(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\;dt (1)

que é impróprio mas convergente, no caso de x>0 e y>0 e   pelo menos uma das variáveis x<1 ou y<1.

A função B(x,y) (para x>0 e y>0) relaciona-se com a função especial gama

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\;dt (2)

através da conhecida identidade

B(x,y)=\dfrac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} (3)

que não vou demonstrar.

O que me proponho demonstrar é a chamada fórmula da reflexão ou dos complementos da função gama no domínio real, seguindo o método indicado nos exercícios não resolvidos 10 e 11 da página 683 do livro de Angus E. Taylor, Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company, 1955.

Proposição: Se a for real, é válida a identidade seguinte

\dfrac{\pi}{\sin a\pi}=\pi \csc a\pi=B(a,1-a)=\Gamma(a)\Gamma(1-a) (4)

Notação:  \csc a\pi=1/\sin a\pi é  a cosecante de a\pi.

Demonstração: Se 0<a<1, tem-se

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{y^{a-1}}{1+y}\;dy=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{-a}}{1+x}\;dx

como resulta da mudança de variável y=1/x. O integral

\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{-a}}{1+x}\;dx

é convergente se a<1, porque nesta condição  \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{a}} é convergente e \dfrac{x^{-a}}{x+1}\cdot x^a tende para 1, quando x tende para 0^+, e,  por outro lado, o integral

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{y^{a-1}}{1+y}\;dy

também nesse caso é convergente, porque \displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{dy}{y^{2-a}} converge e \dfrac{y^{a-1}\cdot y^{2-a}}{1+y} tende para 1, quando y tende para \infty.

Outra representação integral da função beta é:

B(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\;du (5)

que se obtém de (1) através das substituição

t=\dfrac{u}{1+u}.

De (5) resulta

B(a,1-a)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du+\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du

=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{-a}}{1+u}\;du=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}+u^{-a}}{1+u}\;du

Usando agora o desenvolvimento em série  de

\dfrac{1}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^n,

obtém-se

\dfrac{u^{a-1}}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{a-1+n}

e

\dfrac{u^{-a}}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{-a+n},

e integrando termo a termo a função integranda \dfrac{u^{a-1}+u^{-a}}{1+u}, como

(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{a-1+n}\;du=\dfrac{(-1)^{n}}{a+n}

e

(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{-a+n}\;du=\dfrac{(-1)^{n}}{-a+n+1},

depois de agrupar os termos pares da série

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{a+n}

com os ímpares da série

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{-a+n+1}

obtém-se no fim a série

\dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}.

Em consequência

B(a,1-a)=\Gamma (a)\Gamma (1-a)=\dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}

 Ora, a série de Fourier da função f(x)=\pi\cos ax, em que -\pi\le x\le\pi, é

\pi\cos ax=2a\sin a\pi\left( \dfrac{1}{2a^2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}\cos nx}{n^2-a^2}\right)

que assume o desenvolvimento particular para x=0:

\pi=\sin a\pi\left( \dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}\right)

donde, efectivamente

\dfrac{\pi}{\sin a\pi}=\pi \csc a\pi=B(a,1-a)=\Gamma(a)\Gamma(1-a)\qquad\blacksquare

Esta mesma identidade também se verifica para a complexo.

ADENDA de 23-1-2009: para a=1/2 obtém-se

\dfrac{\pi}{\sin \pi/2}=\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)

donde

\Gamma\left( \dfrac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi} (6)

Actualização de 15-2-2009: acrescentado gráfico da função gama.
 

Janeiro 20, 2009

Exercício: provar que dois elevado a 33 mais três elevado a 33 não é primo

Filed under: Caderno,Congruências,Demonstração,Exercícios Matemáticos,Matemática,Problemas,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 11:14 am
Tags: , , , , ,

pdf: ver caderno

Provar que a soma de 2 elevado a 33 com 3 elevado a 33  é  um número composto.

[do Vestibular da UFPE, 2008]

 

\blacktriangleright Para n=1+4k (com k=1,2,\ldots ) as potências 2^{n} e 3^{n} terminam (*), respectivamente, em 2 e 3; a sua soma 2^{n}+3^{n} termina por isso em 5. Ora

2^{33}+3^{33}=2^{1+4\times 8}+3^{1+4\times 8}

e, consequentemente, 2^{33}+3^{33} é divisível por 5, logo não é  primo. \blacktriangleleft

\bigskip

(*) Por exemplo: \mathbf{2}^{1}\mathbf{=2}, 2^{2}=\allowbreak 4, 2^{3}=\allowbreak 8, 2^{4}=\allowbreak 16, \mathbf{2}^{5}\mathbf{=\allowbreak 32}, 2^{6}=\allowbreak 64, 2^{7}=\allowbreak 128, 2^{8}=\allowbreak 256, \mathbf{2}^{9}\mathbf{=\allowbreak 512},\dots

\bigskip

\mathbf{3}^{1}\mathbf{=\allowbreak 3}, 3^{2}=\allowbreak 9, 3^{3}=\allowbreak 27, 3^{4}=\allowbreak 81, \mathbf{3}^{5}\mathbf{=\allowbreak 243}, 3^{6}=\allowbreak 729, 3^{7}=\allowbreak 2187, 3^{8}=\allowbreak 6561, \mathbf{3}^{9}\mathbf{=\allowbreak 19\,683},\dots

Adenda de 24-4-2009:

Método alternativo: de uma forma mais rigorosa e aproveitando uma ideia desenvolvida neste artigo pode justificar-se este resultado da seguinte maneira. 

Se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\quad\left( \text{mod }m\right) . Esta propriedade aplicada a 2^{n} dá em geral, para n=4k+s,1\leq s\leq 3,0\leq k

2^{n}\equiv 2^{s}\quad\left( \text{mod }5\right) ,\quad (1)

o que significa que os restos da divisão de  2^{n} por 5 formam uma sucessão periódica de comprimento 4 com início em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{2,4,3,1}},\overset{4\text{ termos}}{\overbrace{2,4,3,1}},\ldots .

Aplicada a 3^{n} (n=4k+s,1\leq s\leq 3,0\leq k) dá

3^{n}\equiv 3^{s}\quad\left( \text{mod }5\right) ,\quad (2)

o que significa que os restos da divisão de  3^{n} por 5 formam uma sucessão periódica de comprimento 4 com início em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{3,4,2,1}},\overset{4\text{ termos}}{\overbrace{3,4,2,1}},\ldots .

Se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) e c\equiv d\quad \left( \text{mod }m\right) , então a-c\equiv b-d\quad \left( \text{mod }m\right) . Em consequência de (1) e (2) obtemos

 2^n+3^n\equiv 2^{s}+3^{s}\quad \left( \text{mod }5\right) .\quad (3)

Os restos da divisão de  2^n+3^n por 5 formam outra sucessão periódica de comprimento 4 que se inicia também em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{0,3,0,2}},\overset{4\text{ termos}}{\overbrace{0,3,0,2}},\ldots . 

Logo para n ímpar, 2^n+3^n\equiv 2^{s}+2^{s} é divisível por 5, pelo que  2^{33}+3^{33} não é primo.

Ou então calcula-se simplesmente 33=4\times 8+1,s=1 e

2^{33}\equiv 2^{1}\quad\left( \text{mod }5\right)

3^{33}\equiv 3^{1}\quad\left( \text{mod }5\right)

donde

 2^{33}+3^{33}\equiv 2^{1}+3^{1}\quad \left( \text{mod }5\right) \equiv 0\quad \left( \text{mod }5\right)

visto que

5 \equiv 0\quad \left( \text{mod }5\right) .

Adenda de 4-6-2009:

Justificação de Vishal Lama: Could we just say that a^n + b^n is divisible by a + b for all odd n, and hence, 2^{33} + 3^{33} is divisible by 5?
    Indeed, b \equiv -a \quad (\mod a+b), and so, b^n \equiv -a^n \quad (\mod a+b) for odd n. Therefore, a^n + b^n \equiv 0 \quad (\mod a+b).

 

Janeiro 6, 2009

Construção da elipse a partir de duas circunferências

Filed under: Caderno,Geometria,Matemática — Américo Tavares @ 12:03 pm
Tags: ,

pdf: ver caderno

Considere a seguinte elipse

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

Suponhamos que a>b. Esta elipse, representada a seguir centrada na origem, resulta da composição de duas circunferências, uma de diâmetro igual ao eixo menor da elipse e outra de diâmetro igual ao seu eixo maior. O eixo da circunferência menor é coincidente com o eixo dos x e o da maior com o dos y. Se a<b a elipse não estaria “deitada” e as circunferências menor e maior trocariam de posição entre si.

elipse2circunfs

 

Eixo dos x é o horizontal e o eixo dos y, o vertical

Construção da elipse (a verde): os pontos da elipse encontram-se no cruzamento dos segmentos de recta paralelos a x (horizontais) que passam por um dado ponto da  circunferência a preto, da esquerda, com os segmentos de recta  paralelos a y  (verticais) que passam pelo  ponto correspondente  da circunferência azul, por baixo da elipse. Imagine que começa em ambas as circunferências nos pontos situados mais à direita e que vai rodando no sentido contrário aos ponteiros do relógio a  uma velocidade angular constante em ambas. Depois de ter regressado a cada um desses pontos nas duas circunferências, desenha, por este processo, a elipse, no sentido também contrário aos ponteiros do relógio. [Parágrafo acrescentado no mesmo dia]

Janeiro 4, 2009

Cubo de dimensão n, n-cubo ou hipercubo

Filed under: Caderno,Geometria,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 5:52 pm
Tags: ,

 pdf: ver  caderno

O cubo de dimensão   n, hipercubo ou n-cubo  obtém-se do de dimensão n-1 deslocando-o numa direcção  perpendicular ao hiperplano que contém o n-1-cubo de uma distância igual a 1, e unindo nesse processo os vértices dos dois n-1-cubos inicial e final por arestas.

Por exemplo, a partir do cubo tridimensional (de aresta unitária), cujos vértices, escritos numa sequência de três bits ( bitstring ) são

000,001,010,011,100,101,110  e 111

podemos obter o quadridimensional introduzindo uma quarta dimensão. Este cubo tem 16 vértices, e que são, enumerando-os:

0000,0001,0010,0011,0100,0101,0110,0111,

1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110 e 1111

Do cubo tridimensional passamos ao bidimensional (o 2-cubo ou quadrado) retirando-lhe uma das dimensões. Se for a terceira (correspondente ao bit da esquerda) ficamos com os vértices

00,01,10 e 11.

Deste retirando-lhe mais uma dimensão ficamos com o 1-cubo (ou segmento), cujos vértices são o

0 e 1.

Visualmente, o cubo de dimensão 4  pode representar-se na folha de papel (no ecrã do computador), por exemplo, por

4cubo

Claro que este cubo quadridimensional não existe no espaço euclidiano.

PS. Este cubo é um grafo que pode ser redesenhado e ficar numa forma que lhe seja equivalente.

Dezembro 29, 2008

Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

Filed under: Arte,Caderno,Equações,Matemática,Métodos Numéricos,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 4:50 pm
Tags: , , ,

pdf: ver caderno

Se tiver uma equação  não  linear

f(x)=0

e pretender determinar numericamente um zero, pode utilizar o método da secante ou o de Newton que passo a expor. Pelo método de Newton partimos do valor inicial x_{1} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=1,2,,\ldots ) até  nos aproximarmos da solução  da equação. Paramos quando chegarmos à  aproximação pretendida.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)  é  dada pela equação:

y=f^{\prime }(x_{1})(x-x_{1})+f(x_{1})

que intersecta o eixo dos x no ponto de abcissa x_{2}

x_{2}=x_{1}-\dfrac{f\left( x_{1}\right) }{f^{\prime }\left( x_{1}\right) }

Este valor permite gerar, pelo mesmo método, o novo valor

x_{3}=x_{2}-\dfrac{f\left( x_{2}\right) }{f^{\prime }\left( x_{2}\right) }

da abcissa do ponto de cruzamento da tangente a f(x) no ponto (x_{2},y_{2}=f(x_{2}))  e assim sucessivamente:

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{f\left( x_{i}\right) }{f^{\prime }\left( x_{i}\right) }.

Como se vê  este método obriga ao cálculo da derivada da função  f(x).

Exemplo: Aplique o método de Newton na determinação de \sqrt{2}

\sqrt{2}  é  solução de x^{2}-2=0. Temos f(x)=x^{2}-2 e f^{\prime }(x)=2x, pelo que a iteração se faz aplicando sucessivamente

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{x_{i}^{2}-2}{2x_{i}}

Escolhendo x_{1}=1, vem

x_{2}=x_{1}-\dfrac{x_{1}^{2}-2}{2x_{1}}=1-\dfrac{1-2}{2}=\dfrac{3}{2}

x_{3}=x_{2}-\dfrac{x_{2}^{2}-2}{2x_{2}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{3}{2}}=\dfrac{17}{12}

x_{4}=x_{3}-\dfrac{x_{3}^{2}-2}{2x_{3}}=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\left( \dfrac{17}{12}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{17}{12}}=\dfrac{577}{408}

x_{5}=x_{4}-\dfrac{x_{4}^{2}-2}{2x_{4}}=\dfrac{577}{408}-\dfrac{\left( \dfrac{577}{408}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{577}{408}}=\dfrac{665857}{470832}

A sucessão

1,\dfrac{3}{2},\dfrac{577}{408},\dfrac{665857}{470832},\dots\rightarrow \sqrt{2}

A velocidade de convergência é  boa:

\sqrt{2}-1=0,41421

\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}=-8,5786\times 10^{-2}

\sqrt{2}-\dfrac{17}{12}=-2,4531\times 10^{-3}

\sqrt{2}-\dfrac{577}{408}=-2,1239\times 10^{-6}

\sqrt{2}-\dfrac{665857}{470832}=-1,5949\times 10^{-12}

[Actualização de 4-4-2009: incluído exemplo]

 : : : : :

Do calendário dos Artistas Pintores com a boca e o pé  (Março de 2009) – “Amigas” de Chris Opperman. Citação de William Blake. 

meninas2009

Aproveito esta oportunidade para desejar um BOM 2009 a todos os visitantes e comentadores deste blogue.

Dezembro 7, 2008

Regra de Leibniz de diferenciação de um integral paramétrico e sua generalização

Filed under: Caderno,Cálculo,Exercícios Matemáticos,Integrais,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:35 am
Tags: , , , ,

pdf: ver caderno

Suponhamos que temos o integral que é  função  do parâmetro t

I(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dx

A sua diferenciação baseia-se na seguinte

Proposição (regra de Leibniz): Sejam f\left( x,t\right) uma função real definida num rectângulo R= \left[ a,b\right] \times \left[ c,d\right] \in\mathbb{R}^{2}  integrável em x  para cada valor real de t  e \dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}  a sua derivada parcial contínua em x e t no mesmo rectângulo. A derivada do integral função do parâmetro t

I(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dx

é dada por

I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx.

\bigskip

Usei-a  aqui.

Neste caso os limites de integração são constantes. A generalização a um integral do tipo

I(t)=J(u,v,t)=\displaystyle\int_{u(t)}^{v(t)}f\left( x,t\right) dx,

em que o parâmetro ocorre também nas funções  u\left( t\right) e v\left( t\right) dos limites de integração, é uma consequência do teorema fundamental do cálculo integral para uma função, na sua forma habitual

\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}g\left( t\right) dt=g\left( x\right)

e nesta dela derivada

\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x}^{b}g\left( t\right) dt=-\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{b}^{x}g\left( t\right) dt=-g\left( x\right)

bem como da regra de derivação da função composta. A derivada passa a ser

I^{\prime }(t)=\dfrac{dI}{dt}=\dfrac{\partial J}{\partial t}\dfrac{dt}{dt}+\dfrac{\partial J}{\partial v}\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{\partial J}{\partial u}\dfrac{du}{dt}

ou

I^{\prime }(t)=\left( \dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{dt}{dt} +\left( \dfrac{\partial }{\partial v}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{dv\left( t\right) }{dt} +\left( \dfrac{\partial }{\partial u}\displaystyle\int_{u}^{v}f\left( x,t\right) dx\right) \dfrac{du\left( t\right) }{dt}

Assim

I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime}\left( t\right) .

\bigskip

Problema: determine a derivada I^{\prime }(t) do integral

I(t)=J(2t,t^{2},t)=\displaystyle\int_{2t}^{t^{2}}e^{tx}dx

Resolução: neste caso f\left( x,t\right) =e^{tx},u\left( t\right) =2t e v\left( t\right) =t^{2}. As derivadas são

v^{\prime }\left( t\right) =2t\qquad\qquad u^{\prime }\left( t\right) =2

\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}=\dfrac{\partial }{\partial t}e^{tx}=xe^{tx}

e os valores da função  integranda são  calculados em \left( v,t\right) e \left( u,t\right)

f\left( v\left( t\right) ,t\right) =e^{t\cdot t^{2}}=e^{t^{3}}

f\left( u\left( t\right) ,t\right) =e^{t\cdot 2t}=e^{2t^{2}}

donde

I^{\prime }(t)=\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime }\left( t\right) =\displaystyle\int_{2t}^{t^{2}}xe^{tx}dx+2te^{t^{3}}-2e^{2t^{2}}

=\dfrac{e^{t^{3}}\left( 3t^{3}-1\right) -e^{2t^{2}}\left( 4t^{2}-1\right) }{t^{2}}\qquad \blacktriangleleft

Dezembro 5, 2008

Integração pelo método de diferenciação em relação a um parâmetro

Filed under: Caderno,Cálculo,Integrais,Matemática — Américo Tavares @ 5:43 pm
Tags: , ,

pdf: ver caderno

Nesta minha entrada  referi o método da diferenciação sob o sinal de integral exposto no post de Todd and Vishal’s blog nela indicado.  Este método é  também conhecido pelo nome acima. Em que consiste? Generaliza-se o integral que se pretende calcular usando um parâmetro, sendo o integral original obtido para um valor particular desse parâmetro.

No caso do integral aí calculado

\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{x}{\tan x}dx

a generalização através do parâmetro t que é aconselhada no post mencionado (e na Wikipedia e  em INTEGRATION: THE FEYNMAN WAY ) é:

I(t)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{\arctan \left( t\tan x\right) }{\tan x}dx

da qual o integral original é o valor particular

I(1)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{x}{\tan x}dx

Para aplicar este método é  necessário que a função integranda e a sua derivada parcial em relação ao parâmetro sejam contínuas no intervalo de integração, quer no que diz respeito à  varável de integração x quer ao parâmetro t ; neste caso são-no:

\dfrac{\partial }{\partial t}\dfrac{\arctan \left( t\tan x\right) }{\tan x}=\dfrac{1}{t^{2}\tan ^{2}x+1}.

Depois de se ter diferenciado sob o sinal de integral, obtém-se a derivada do integral em relação ao parâmetro, calculando o integral da nova função integranda, a que se acabou de determinar:

\dfrac{d}{dt}I(t)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{\partial }{\partial t}\dfrac{\arctan\left( t\tan x\right) }{\tan x}dt

O objectivo é tentar obter um integral simples! Continuando, vem

\displaystyle\dfrac{d}{dt}I(t)=\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{1}{t^{2}\tan ^{2}x+1}dx

Fazendo a substituição  recomendada por Todd Trimble x=\arctan u transforma-se este integral noutro

\dfrac{d}{dt}I(t)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{1}{t^{2}\tan ^{2}x+1}dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{t^{2}u^{2}+1}\dfrac{1}{u^{2}+1}du

que é integrável pelo método das fracções parciais:

\dfrac{1}{t^{2}u^{2}+1}\dfrac{1}{u^{2}+1}=\dfrac{t}{t^{2}-1}\dfrac{t}{t^{2}u^{2}+1}-\dfrac{1}{t^{2}-1}\dfrac{1}{u^{2}+1}.

obtendo-se

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{t^{2}u^{2}+1}\dfrac{1}{u^{2}+1}du

=\dfrac{t}{t^{2}-1}\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{t}{t^{2}u^{2}+1}du -\dfrac{1}{t^{2}-1}\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{u^{2}+1}du

=\dfrac{t}{t^{2}-1}\left. \arctan \left( tu\right) \right\vert _{0}^{\infty}-\dfrac{1}{t^{2}-1}\left. \arctan \left( u\right) \right\vert _{0}^{\infty }

=\dfrac{t}{t^{2}-1}\left( \dfrac{\pi }{2}\right) -\dfrac{1}{t^{2}-1}\left( \dfrac{\pi }{2}\right)

=\dfrac{1}{t+1}\left( \dfrac{\pi }{2}\right)

Por fim, integra-se em relação ao parâmetro t

I(t)=\displaystyle\int \dfrac{\pi }{2\left( t+1\right) }\; dt=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( t+1\right) +C

e calcula-se a constante de integração através de outro valor particular do integral; como

I(0)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{\arctan \left( 0\tan x\right) }{\tan x}dx=0

tem-se

\dfrac{\pi }{2}\ln \left( 1\right) +C=0

donde C=0 e o integral paramétrico é

I(t)=\displaystyle\int \dfrac{\pi }{2\left( t+1\right) }\; dt=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( t+1\right)

pelo que o integral original é igual a

I(1)=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( 1+1\right) =\dfrac{\pi }{2}\ln 2.

Correcção de 6-12-2008: no integral I(0)

Dezembro 3, 2008

Enigma, ou melhor, a falsa adivinha dos chocolates e da idade

Filed under: Caderno,Enigmas,Matemática — Américo Tavares @ 9:20 am
Tags: , , ,

pdf: ver caderno

Do  A Matemática anda por aí

A TUA IDADE COM CHOCOLATES
NÃO VÁS DIRECTAMENTE AO FINAL
Não demora mais de um minuto.
Faz os cálculos conforme vais lendo o texto…
Não leias o final até que não acabes os cálculos.
Não vais perder tempo, vais-te divertir.
1. Quantas vezes por semana te apetece comer chocolate? (deve ser um número maior que 0 vezes e menos de 10 vezes)
2. Multiplica este número por 2 (para ser par)
3. Soma 5
4. Multiplica o resultado por 50 – Vou esperar que ponhas a calculadora a funcionar
5. Se fizeste anos em 2008 soma 1758. Se ainda não fizeste anos soma 1757.
6. Agora subtrai o ano em que nasceste (número de quatro dígitos).
O resultado é um número de três dígitos. O primeiro dígito é o número de vezes que te apetece comer chocolate por semana.
Os dois números seguintes são…
A TUA IDADE!!! (Siiiiiiimmmmmmm!!! A Tua Idade!!!)

2008 É O UNICO ANO, EM TODA A ETERNIDADE, EM QUE ISTO FUNCIONA.

Quem consegue explicar isto?
 

A minha resposta/explicação publicada no blog foi:

O resultado  R é da forma

 R=100q+i ,

em que  q (q=1,2,\dots ,9) é o número de vezes que apetece comer chocolates numa semana e  i a idade, que pode ser, designando o ano de nascimento por  n, 2008-n ou  2007-n, consoante se tenha já feito ou não anos em 2008.

Os passos enunciados conduzem, respectivamente, aos números

  50(2q+5)+1758-n

ou

50(2q+5)+1757-n .

Ora as identidades

  50(2q+5)+1758-n=100q+2008-n

e

  50(2q+5)+1757-n=100q+2007-n

mostram que o número é da forma acima indicada e que a idade é efectivamente  i=2008-n ou  i=2007-n.

Acrescento agora que a idade deve ser menor do que cem!

Actualização de 6-12-2008: alterado título e retirada a palavra “enigma” logo no início. 

Novembro 27, 2008

Identidade de Lagrange

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Demonstração,Identidade matemática,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 9:04 pm
Tags: , , ,

pdf: ver caderno

A desigualdade de Cauchy-Schwarz, já demonstrada anteriormente, é também uma consequência directa da identidade de Lagrange; neste sentido esta identidade constitui uma generalização dessa desigualdade, que relembro ser

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^2\right)

\bigskip

Proposição: Identidade de Lagrange. Para os reais a_{k} e b_{k} (com 1\leq k\leq n) verifica-se

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

Demonstração: O produto de duas somas com n termos cada é uma soma com n^{2} termos:

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}

Os índices i e j de cada termo genérico x_{i}y_{j} podem ser iguais (i=j) ou o primeiro menor do que o segundo (i<j) ou maior (j<i). Separando estes três grupos de parcelas, vem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{1\leq j<i\leq n}x_{i}y_{j}

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{j}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{i}

Particularizando, para x_{i}=a_{i}^{2} e y_{j}=b_{j}^{2} obtém-se

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

e para x_{i}=y_{i}=a_{i}b_{i}

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)

 =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Ora

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

pelo que

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Por outro lado

2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+

 \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

visto que, por troca dos índices i e j, se tem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

provando-se assim a identidade indicada acima \qquad\square

Correcção de 1-12-2008: na fórmula da desigualdade de Cauchy-Schwarz, bem como no pdf.

Página Seguinte »

Tema: Rubric. Blog em WordPress.com.