Integral indefinido de 1/(x^2-2x)

Posted on Junho 11, 2012 por

Determinação de

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^{2}-2x}\end{aligned}

(Questão de Jordan no MSE)

Adaptado da minha resposta.

É quase imediata se se fizer a substituição e se se souber a derivada indicadas a seguir

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^{2}-2x}&=\displaystyle\int\dfrac{dx}{\left( x-1\right)^{2}-1}\overset{u=x-1}{=}\displaystyle\int\dfrac{1}{u^{2}-1}\,du=-\text{arctanh }u+C\end{aligned}

Usei a primitiva imediata que decorre da derivada

\dfrac{d}{du}\left( \dfrac{1}{1-u^{2}}\right) =\text{arctanh }u.

Só será necessário substitutir u=x-1 para escrever \text{arctanh }u em termos de x.

Aproveito para publicar aqui a pág. do meu livro de Matemáticas Gerais, Jaime  Campos Ferreira, onde aparece a tabela de derivadas que deveríamos conhecer, na qual, numa notação diferente, está esta derivada (a última na coluna da direita):

Mas se quizermos  utilizar fracções parciais, basta decompor da seguinte forma

\begin{aligned}\int\dfrac{1}{u^{2}-1}\,du=\displaystyle\int\dfrac{1}{\left( u-1\right) \left( u+1\right)}\,du=\displaystyle\int\dfrac{1}{2\left( u-1\right) }-\dfrac{1}{2\left( u+1\right) }du\end{aligned}

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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