Exemplo de desenvolvimento em fracções parciais

Posted on Junho 9, 2012 por

Nesta questão de Jordan, no MSE, é necessário calcular o seguinte integral, decompondo a função integranda em fracções parciais

\displaystyle\int\dfrac{x^2 - 5x + 16}{(2x+1)(x-2)^2}dx

que acabam por ser

\dfrac{x^{2}-5x+16}{\left( 2x+1\right) \left( x-2\right) ^{2}}=\dfrac{3}{2x+1}+ \dfrac{2}{\left( x-2\right) ^{2}}-\dfrac{1}{x-2}dx.

Na minha resposta apresentei vários métodos possíveis.

1.  Seja

\dfrac{P(x)}{Q(x)}:=\dfrac{x^{2}-5x+16}{\left( 2x+1\right) \left( x-2\right) ^{2}}\qquad (1)

O denominador Q(x):=\left( 2x+1\right) \left( x-2\right)^{2} tem apenas factores da forma (ax+b)^{i}. Cada um dá origem a i\in\mathbb{N} fracções parciais cujos integrais se podem calcular recursivamente e/ou encontrados em tabelas de integrais. Veja neste caso (6),(7),(8) em baixo.

\dfrac{A_{i}}{(ax+b)^{i}}+\dfrac{A_{i-1}}{(ax+b)^{i-1}}+\ldots +\dfrac{A_{1}}{ax+b}. \qquad (2)

O expoente do factor \left( x-2\right) ^{2} é i=2 e o de 2x+1 é i=1. Devemos assim determinar constantes A_{1},A_{2}, e B tais que

\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x^{2}-5x+16}{\left( 2x+1\right) \left( x-2\right) ^{2}}=\dfrac{B}{2x+1}+\dfrac{A_{2}}{\left( x-2\right) ^{2}}+\dfrac{A_{1}}{x-2}.\qquad (3)

2. Um dos métodos† consiste em reduzir o lado direito a um denominador comum

\dfrac{x^{2}-5x+16}{\left( 2x+1\right) \left( x-2\right) ^{2}}=\dfrac{B\left(x-2\right) ^{2}+A_{2}\left( 2x+1\right) +A_{1}\left( x-2\right) \left(2x+1\right) }{\left( 2x+1\right) \left( x-2\right) ^{2}}.\qquad (3a)

Isto significa que os polinómios dos numeradors devem ser iguais nos dois membros da última equação. Desenvolvendo o 2.º membro e agrupando os termos do mesmo grau, obtemos

\begin{aligned}P(x) &:=x^{2}-5x+16=B\left( x-2\right) ^{2}+A_{2}\left( 2x+1\right) +A_{1}\left( x-2\right) \left( 2x+1\right)\\&=\left( Bx^{2}-4Bx+4B\right)+\left( 2A_{2}x+A_{2}\right)+\left(2A_{1}x^{2}-3A_{1}x-2A_{1}\right) \\&=\left( B+2A_{1}\right) x^{2}+\left( -4B+2A_{2}-3A_{1}\right)x+\left(4B+A_{2}-2A_{1}\right)\end{aligned}\qquad (3b)

e igualando os coeficientes de x^{2}, x^{1} and x^{0}, conclui-se que devem verificar‡ o seguinte sistema de 3 equações lineares equations [Veja-se a resolução detalhada do sistema em (*)]

\left\{\begin{array}{c}B+2A_{1}=1\\-4B+2A_{2}-3A_{1}=-5\\4B+A_{2}-2A_{1}=16\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}A_{1}=-1\\A_{2}=2\\B=3.\end{array}\right.\qquad(3c)

Em resumo, este método reduz-se a resolver um sistema linear. Tem-se, portanto

\dfrac{x^{2}-5x+16}{\left( 2x+1\right) \left( x-2\right) ^{2}}=\dfrac{3}{2x+1}+ \dfrac{2}{\left( x-2\right) ^{2}}-\dfrac{1}{x-2}.\qquad (4)

3. Para terminar só falta integrar cada fracção parcial

\displaystyle\int\dfrac{x^{2}-5x+16}{\left( 2x+1\right)\left( x-2\right) ^{2}}dx=3\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+1}dx+2\displaystyle\int\dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}}dx-\displaystyle\int\dfrac{1}{x-2}dx\qquad (5)

(…) Podemos aplicar as seguintes fórmulas básicas de integrais indefinidos:

\displaystyle\int\dfrac{1}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a}\ln \left\vert ax+b\right\vert +C,\qquad (6)

\displaystyle\int\dfrac{1}{\left( x-r\right) ^{2}}dx=-\dfrac{1}{x-r}+C,\qquad (7)

\displaystyle\int\dfrac{1}{x-r}dx=\ln \left\vert x-r\right\vert +C.\qquad (8)

–

† Noutro método  calcula-se os valores de ambos os membros de  (3) para 3 valores diferentes de x, por exemplo x=-1,0,1, obtendo-se desta forma um sistema de 3 equações. Outro ainda é calcular P(x)

P(x)=x^{2}-5x+16=B\left( x-2\right) ^{2}+A_{2}\left( 2x+1\right)+A_{1}\left( x-2\right) \left( 2x+1\right)

em primeiro lugar nos zeros de cada termo, isto é, x=2 e x=-1/2

P(2)=10=5A_{2}\Rightarrow A_{2}=2

P\left( -1/2\right)=\dfrac{75}{4}=\dfrac{25}{4}B\Rightarrow B=3;

e depois em, por exemplo, x=0

P(0)=16=4B+A_{2}-2A_{1}=12+2-2A_{1}\Rightarrow A_{1}=-1.

Encontram-se descritos métodos adicionais nesta entrada da Wikipedia.

‡  Se B+2A_{1}=1,-4B+2A_{2}-3A_{1}=-5,4B+A_{2}-2A_{1}=16, então

x^{2}-5x+16=\left( B+2A_{1}\right) x^{2}+\left( -4B+2A_{2}-3A_{1}\right) x+\left(4B+A_{2}-2A_{1}\right)

qualquer que seja x, pelo que (3a) é uma identidade.

- : – : -

(*) Resolução pormenorizada de  (3c).

\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{c}B+2A_{1}=1\\-4B+2A_{2}-3A_{1}=-5\\4B+A_{2}-2A_{1}=16\end{array}\right.\\&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} B=1-2A_{1}\\-4\left( 1-2A_{1}\right) +2A_{2}-3A_{1}=-5\\4\left( 1-2A_{1}\right) +A_{2}-2A_{1}=16\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} B=1-2A_{1}\\-4+5A_{1}+2A_{2}=-5\\4-10A_{1}+A_{2}=16\end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}B=1-2A_{1}\\A_{2}=-\dfrac{1+5A_{1}}{2}\\ 4-10A_{1}-\dfrac{1+5A_{1}}{2}=16\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} B=1-2A_{1}\\A_{2}=-\dfrac{1+5A_{1}}{2}\\A_{1}=-1\end{array}\right.\\&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}B=1-2\left( -1\right) \\A_{2}=-\dfrac{1+5\left( -1\right) }{2}\\ A_{1}=-1\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}A_{1}=-1\\ A_{2}=2\\B=3\end{array}\right.\end{aligned}

—–

Num comentário, Jordan indica que numa lição em vídeo do MIT se usa o método “cover up” para resolver sistemas deste tipo. Deduzi, pelo que descreveu que seria o seguinte:

Começando-se por

\dfrac{x^{2}-5x+16}{(2x+1)(x-2)^{2}}=\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{(x-2)^{2}}\qquad(3')

podemos multiplicar esta equação por (x-2)^{2}

\dfrac{x^{2}-5x+16}{2x+1}=\dfrac{A(x-2)^{2}}{2x+1}+B(x-2)+C.

Desembaraçamo-nos de A and B, fazendo x=2, obtendo-se C

\dfrac{2^{2}-5\cdot 2+16}{2\cdot 2+1}=\dfrac{A(2-2)^{2}}{2x+1}+B(2-2)+C

\Rightarrow 2=0+0+C\Rightarrow C=2

Continuamos, multiplicando (3') por 2x+1

\dfrac{x^{2}-5x+16}{(x-2)^{2}}=A+\dfrac{B(2x+1)}{x-2}+\dfrac{C(2x+1)}{(x-2)^{2}}

e fazemos x=-1/2 para anular os termos com B e C

\dfrac{\left( -1/2\right) ^{2}-5\left( -1/2\right) +16}{(-1/2-2)^{2}}=A+ \dfrac{B(2\left( -1/2\right) +1)}{-1/2-2}+\dfrac{C(2\left( -1/2\right) +1)}{ (-1/2-2)^{2}}

\Rightarrow 3=A+0+0\Rightarrow A=3

Substituindo A=3,C=2 em (3'), tem-se

\dfrac{x^{2}-5x+16}{(2x+1)(x-2)^{2}}=\dfrac{3}{2x+1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{2}{ (x-2)^{2}}

Fazendo, por exemplo, x=1 (mas poderia ser outro valor, como x=0),

\dfrac{1^{2}-5+16}{(2+1)(1-2)^{2}}=\dfrac{3}{2+1}+\dfrac{B}{1-2}+\dfrac{2}{ (1-2)^{2}},

\Rightarrow 4=1-B+2\Rightarrow B=-1.

Logo

\dfrac{x^{2}-5x+16}{(2x+1)(x-2)^{2}}=\dfrac{3}{2x+1}-\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2}{(x-2)^{2}},\qquad(3'')

que é o mesmo desenvolvimento de (4).

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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