Comentários em: Desigualdade envolvendo a função exponencial http://problemasteoremas.wordpress.com/2012/06/04/desigualdade-envolvendo-a-funcao-exponencial/ Problemas, exercícios, teoria e teoremas de várias áreas, na maioria Cálculo. Américo Tavares Mon, 20 May 2013 16:17:30 +0000 hourly 1 http://wordpress.com/ Por: Américo Tavares http://problemasteoremas.wordpress.com/2012/06/04/desigualdade-envolvendo-a-funcao-exponencial/comment-page-1/#comment-2941 Tue, 19 Jun 2012 16:50:08 +0000 http://problemasteoremas.wordpress.com/?p=16150#comment-2941 Como prova da vitalidade do Mathematics Stack Exchange aqui deixo a revisão desta demonstração feita hoje por um anónimo (e aprovada por mim), tornando-a mais completa e explicitando melhor os passos:

“By Taylor expansion, we have

\ln\dfrac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n},

whose convergence radius is R=1.

The equation above can also be achieved by integrate both sides of

\dfrac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n}.

For 0\leq x\leq 1/2 we have the following upper bound

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{x^{n}}{n}\leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{ n\left( 2^{n}\right) }=\ln 2\leq 2.

Therefore

-\ln \left( 1-x\right) =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{x^{n}}{n}\leq 2x.

The given inequality follows.”

]]> Por: Américo Tavares http://problemasteoremas.wordpress.com/2012/06/04/desigualdade-envolvendo-a-funcao-exponencial/comment-page-1/#comment-2470 Tue, 05 Jun 2012 10:47:59 +0000 http://problemasteoremas.wordpress.com/?p=16150#comment-2470 Obrigado, Prof. Paulo Sérgio. A forma que indica é realmente a mais normal, mas já fora apresentada como resposta à mesma questão, na altura em que redigi a minha.

]]> Por: Paulo Sérgio http://problemasteoremas.wordpress.com/2012/06/04/desigualdade-envolvendo-a-funcao-exponencial/comment-page-1/#comment-2469 Tue, 05 Jun 2012 01:17:27 +0000 http://problemasteoremas.wordpress.com/?p=16150#comment-2469 Muito interessante esta forma de provar uma desigualdade usando somatóriios. Gosto muito de somatórios e desigualdades e este exercício acrescentou muitas ideias inovadoras. Outro procedimento para provar esta desigualdade é mostrar que a função
f(x)=x+e^{-2x}-1 para x\in[0,1/2] é menor ou igual a zero neste intervalo.

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