Nesta questão, no MSE, sssuuuccc pergunta como se pode demonstrar a desigualdade
Na minha resposta considerei a seguinte majoração, válida no intervalo considerado
pelo que
Daqui decorre imediatamente a desigualdade que se pretende demonstrar.
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Muito interessante esta forma de provar uma desigualdade usando somatóriios. Gosto muito de somatórios e desigualdades e este exercício acrescentou muitas ideias inovadoras. Outro procedimento para provar esta desigualdade é mostrar que a função
para ![x\in[0,1/2]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cin%5B0%2C1%2F2%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x\in[0,1/2]")
é menor ou igual a zero neste intervalo.
Obrigado, Prof. Paulo Sérgio. A forma que indica é realmente a mais normal, mas já fora apresentada como resposta à mesma questão, na altura em que redigi a minha.
Como prova da vitalidade do Mathematics Stack Exchange aqui deixo a revisão desta demonstração feita hoje por um anónimo (e aprovada por mim), tornando-a mais completa e explicitando melhor os passos:
“By Taylor expansion, we have
whose convergence radius is
.
The equation above can also be achieved by integrate both sides of
For
we have the following upper bound
Therefore
The given inequality follows.”