Dúvidas sobre um desenvolvimento em série divergente. Em que teorema se baseia ?

Posted on Maio 17, 2012 por

Apesar de ter colocado a questão abaixo traduzida, no MSE e uma versão similar no MathOverflow, ainda continuo com quase as mesmas dúvidas.

Motivação: após ler pormenorizadamente um artigo de Alf van der Poorten, li também um bastante curto  de  Roger Apéry. O meu interesse reside em encontrar uma demonstração de um desenvolvimento em série apenas enunciado, mas não demonstrado no de Apéry e que, embora haja uma demonstração no de van der Poorten, não se trata exactamente do mesmo desenvolvimento. Parto do princípio de que haverá um teorema sobre o assunto, ou que dele se possa deduzir. Ou como comentei no FB, a minha questão é o da passagem da demonstração de Apéry onde é indicado o desenvolvimento em série de uma função f(x) com as propriedades aí descritas. O caso de f(n)=1/n^2 ou f(n)=1/n^3 está bem explicado no artigo de van der Poorten (linkado na questão). Mas o que eu pretendo saber é como se justifica o caso geral. Presumo que Apéry o terá utilizado por ser um facto conhecido, anterior à sua demonstração, nos anos 70.

Cópia do original [1]:

Em [1] Apéry, R., Irrationalité de \zeta 2 et \zeta 3, Société Mathématique de France, Astérisque 61 (1979), existe um desenvolvimento em série divergente de uma função que gostaria de perceber.

Eis a tradução da parte relevante:

(…) dada uma sucessão de números reais a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}, uma função analítica f\left( x\right) no que diz respeito à variável \frac{1}{x}, tendendo para 0 com \frac{1}{x} admite um desenvolvimento (único) da forma

f\left( x\right)\equiv\displaystyle\sum_{k\geq1}\dfrac{c_{k}}{\left( x+a_{1}\right) \left( x+a_{2}\right) \ldots\left( x+a_{k}\right) }.\qquad (\mathrm{A})

Observação: tanto quanto percebo, baseado numa nota do artigo de Apéry, o desenvolvimento de f(x) em (\mathrm{A}) é em geral uma série divergente e não uma convergente, mas a resposta existente parece indicar o contrário.

A soma finita correspondente aparece e é demonstrada na secção 3 do artigo [2]  de Alfred van der Poorten A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of \zeta (3) na forma

Para todos os a_{1},a_{2},\dots

  \displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}= \dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\qquad (\mathrm{A'})

sendo aí provada a seguinte identidade

\dfrac{1}{n^{2}}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^{k-1}\left( \left( k-1\right) !\right) ^{2}}{(n^{2}-1^{2})\cdots (n^{2}-k^{2})}\right) +\dfrac{2(-1)^{n-1}}{n^{2}\displaystyle\binom{2n}{n}}.\qquad (\mathrm{B})

Questões:

  1. A série (\mathrm{A}) é efectivamente divergente?
  2. Qual é o teorema que enuncia ou do qual se deduz o desenvolvimento em série (\mathrm{A})?
  3. Poderiam fornecer uma referência?
  4. Como é que (\mathrm{B}) se generaliza a (\mathrm{A})?

- : – :-

Se se fizer a mudança  de variáveis y=1/x,g(y)=f(1/x), obtem-se \lim_{y\rightarrow 0}g(y)=0 e

\begin{aligned}g(y)&\equiv\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{c_{k}}{\left( \frac{1}{y}+a_{1}\right)\left( \dfrac{1}{y}+a_{2}\right) \ldots \left( \dfrac{1}{y}+a_{k}\right) }\\ &\displaystyle\equiv\sum_{k\geq 1}\dfrac{c_{k}y^{k}}{\left( 1+a_{1}y\right) \left(1+a_{2}y\right) \cdots \left( 1+a_{k}y\right) }\end{aligned}\qquad (\mathrm{C})

mas não sei como prosseguir. Se alguém me poder fornecer alguma sugestão ainda que parcial, ficar-lhe-ia muito grato. Se tiver uma resposta no MSE ou no MathOverflow, ou conseguir responder a esta questões pelos meus próprios meios, actualizo esta entrada.

Versão inglesa da questão (pdf ).

–

[1] APÉRY, R., Irrationalité de \zeta 2 et \zeta 3, Société Mathématique de France, Astérisque 61 (1979)

[2] POORTEN,  Alf., A Proof that Euler Missed…, Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, Math. Intelligencer 1, nº 4, 1978/79, pp. 195-203.

.

15-6-2012: Resposta nesta entrada.

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Sobre Américo Tavares

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