Substituição de Euler para primitivar expressões irracionais quadráticas II

Posted on Maio 16, 2012 por

Retomo o tópico da substituição de Euler exemplificado nesta entrada.

Na questão How to find out what changes applied to integral?, no MSE, Dracontis pretende saber como se pode calcular o seguinte integral

 \displaystyle\int{\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+2}dx}

que, em Maple, se transforma neste:

\displaystyle\int\dfrac{1}{2} + \dfrac{1+3u^2+4u^3}{-2u^2+2u^4-8u^3}du

Adapto da minha resposta o seguinte cálculo.

1. Podemos usar a substituição de Euler t=\sqrt{x^{2}+1}-x para obter uma fracção racional em termos de t

\begin{aligned}I=\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{1+2t^{2}+t^{4}}{t^{2}\left( -1+t^{2}-4t\right) }\mathrm{d}t. \end{aligned}

2. Dado que a função integranda é uma fracção racional, podemos decompô-la em fracções parciais e de seguida integrar cada uma dessas fracções

\dfrac{1+2t^{2}+t^{4}}{t^{2}\left( -1+t^{2}-4t\right) }=1-\dfrac{1}{t^{2}}+ \dfrac{4}{t}+\dfrac{20}{t^{2}-4t-1}.

Cálculo pormenorizado. De t=\sqrt{x^{2}+1}-x, obtemos x=\dfrac{1-t^{2}}{2t} e \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{t^{2}+1}{2t^{2}}. Assim temos

\begin{aligned}I&=\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\dfrac{t+\dfrac{1-t^{2}}{2t}}{\dfrac{1-t^{2}}{2t}+2}\left( -\dfrac{t^{2}+1}{2t^{2}}\right) \mathrm{d}t\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{1+2t^{2}+t^{4}}{t^{2}\left( -1+t^{2}-4t\right) }\mathrm{d}t.\end{aligned}

Decompondo nas fracções parciais indicadas acima, obtemos

\begin{aligned}2I&=\displaystyle\int 1-\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{4}{t}+\dfrac{20}{t^{2}-4t-1}\mathrm{d}t\\&=\displaystyle\int 1\mathrm{d}t-\displaystyle\int\dfrac{1}{t^{2}}\mathrm{d}t+4\displaystyle\int\frac{1}{t}\mathrm{d}t+20\displaystyle\int\dfrac{1}{t^{2}-4t-1}\mathrm{d}t\\&=t+\dfrac{1}{t}+4\ln\left\vert t\right\vert -2\sqrt{5}\ln \dfrac{\sqrt{5}t-2\sqrt{5}+5}{5-\sqrt{5}t+2\sqrt{5}}+C\\&=\sqrt{x^{2}+1}-x+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}+4\ln\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) \\&-2\sqrt{5}\ln\dfrac{\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) -2\sqrt{5}+5}{5-\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) +2\sqrt{5}}+C. \end{aligned}

Logo o integral dado é igual a

\begin{aligned}I&=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) +\dfrac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}+2\ln\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right)\\&-\sqrt{5}\ln\dfrac{\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) -2\sqrt{5}+5}{5-\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) +2\sqrt{5}}+C. \end{aligned}

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Substituição de Euler para primitivar expressões irracionais quadráticas II

  1. Jorge ernesto sandramo diz:
    Abril 26, 2013 às 10:35 pm

    Gostei do topico continuem assim

    Resposta

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