Mathematics Stack Exchange -- Duas perguntas e respostas sobre a função gama

Mathematics Stack Exchange — Duas perguntas e respostas sobre a função gama

Esta é a tradução portuguesa do meu post Two Mathematics Stack Exchange Questions and Answers on the Gamma Function

Questão de pomme. Definição da função gama

“Sei que a função gama com o argumento $(-\dfrac{1}{ 2})$ — por outras palavras $\Gamma(-\dfrac{1}{2})$ é igual a $-2\pi^{1/2}$ . Porém, sendo a definição de

$\Gamma(k)=\displaystyle\int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt$

como é que $\Gamma(-\frac{1}{2})$ se pode obter desta definição? WolframAlpha diz que não converge…”

Minha resposta

A sua dúvida faz sentido se para $k=-1/2$ tentar usar a definição da função gama pelo integral que escreveu, porque ele diverge em $k=-1/2$ como diz. Vou tentar esclarecer como segue. Esta representação integral da função gama (uso $x$ em vez de $k$ )

$\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\qquad(0)$

é válida nos reais, se e só se, $x>0$ . Usando a integração por partes podemos mostrar que

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x).\qquad(1)$

Para $x<0$ podemos definir $\Gamma (x)$ pata todos os valores negativos de $x$ excepto $-1,-2,-3,\cdots$ não pelo integral $(0)$ , mas antes através da equação funcional $(1)$ , que é da forma

$\Gamma (x)=\dfrac{\Gamma(x+1)}{x}.\qquad(2)$

Então $x+1>0$ [e] $\Gamma (x+1)$ é convergente. No seu exemplo $x=-1/2$ , logo $x+1=1/2$ e $\Gamma (1+x)=\Gamma (1/2)$ . Assim obtemos

$\Gamma (-1/2)=\dfrac{\Gamma(1/2)}{-1/2}=-2\Gamma (1/2)=-2\sqrt{\pi },\qquad(3)$

em que usamos o valor conhecido do integral $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi }$ , que pode calcular-se, por exemplo a partir da igualdade

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy=\dfrac{\pi }{4}=\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right) ^{2}.\qquad(4)$

Analogamente, para $x=-3/2$ , de $(2)$ determinamos que $\Gamma (-3/2)=-\frac{2}{3}\Gamma (-1/2)$ , usiando duas vezes $(3)$ . A este processo chama-se prolongamento analítico, cuja verdadeira compreensão exige o conhecimento de análise complexa.

$\text{Plot of }y=\Gamma(x)\quad -5<x<5$

Questão de Amitabh Udayiman. Convergência deste integral

“O meu livro escolar de estatística indicada pela minha escola afirma que o integral

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx$

é convergente para $n>0$ , não o demonstrando. Por isso alguém me poderia ajudar a demonstrá-lot? Mais uma vez obrigado!”

Minha resposta. Parto do princípio que $n$ é um número real. Decomponha o integral impróprio da função gama

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(0)$

em $I_1+I_2$ , em que

$I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(1)$

$I_2=\displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(2)$

1. Para demonstrar que o integral $I_2$ é sempre convergente use o facto de que qualquer que seja o número real $\alpha$ o integral

$\int_{1}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha }dx\qquad(3)$

é convergente, pelo critério do limite

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{e^{-x}x^{\alpha }}{x^{-2}}=0\qquad(4)$

comparando-o com o integral convergente

$\displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{dx}{x^{2}}.\qquad(5)$

2. Quanto a $I_1$ considere dois casos. (a) Se $n\geq 1$ , observe que $\lim_{x\rightarrow 0}e^{-x}x^{n-1}=0$ , logo $I_1$ é um integral próprio. (b) Se $0<n<1$ , a função integranda $e^{-x}x^{n-1}$ comporta-se como $x^{n-1}$ na vizinhança de $n=0$ , porque $e^{-x}\rightarrow 1$ quando $x\rightarrow 0$ . Visto que

$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{1-n}}\qquad(6)$

é convergente, se e só se, $1-n<1$ , isto é $n>0$ , também o é $I_1$ , o que faz com que $\Gamma(n)=I_1+I_2$ seja convergente para $n>0.$

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer

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2 respostas a Mathematics Stack Exchange — Duas perguntas e respostas sobre a função gama

antonio da costa serafim diz:

Junho 1, 2012 às 6:55 pm

Gostei, mandem seus resumos para a gente pensar um pouco!

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  Junho 1, 2012 às 10:25 pm
  
  Obrigado, mas “mandem”? Aqui sou só eu. Pode pesquisar por categoria ou tag ou por palavras ou frases, para procurar algo que lhe possa interessar.

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