Exemplo de uma indeterminação do tipo infinito menos infinito ∞ – ∞

Posted on Abril 10, 2012 por

Nesta resposta a uma pergunta de Garmen1778 , no Mathematics Stack Exchange apresentei a seguinte resposta sobre como se pode, por vezes, calcular um limite de uma indeterminação do tipo \infty -\infty, com e sem recurso à regra de l’Hôpital . É o caso de certas fracções racionais em x, isto é \frac{P(x)}{Q(x)}, com P(x) e Q(x) polinómios em x. Como exemplo seja f(x)=\frac{x^{2}}{x+2} and g(x)=\frac{x^{3}}{x+3}. Temos

\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)&=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}}{x+2}=\infty\\\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)&=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{3}}{x+3}=\infty.\end{aligned}

Assim \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)-g(x) é indeterminado. Dado que podemos reescrever f(x)-g(x) como

\dfrac{x^{2}}{x+2}-\dfrac{x^{3}}{x+3}=\dfrac{-x^{4}-x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+5x+6}:= \dfrac{P(x)}{Q(x)},

em que P(x)=-x^{4}-x^{3}+3x^{2} e Q(x)=x^{2}+5x+6, teremos

\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{x^{2}}{x+2}-\dfrac{x^{3}}{x+3} &=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{P(x)}{Q(x)} \\&=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{4}-x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+5x+6} \\&=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{2}-x+3}{1+5/x+6/x^{2}} \\&=\dfrac{\lim_{x\rightarrow \infty }-x^{2}-x+3}{\lim_{x\rightarrow \infty }1+5/x+6/x^{2}} \\&=\dfrac{-\infty }{1+0+0}=-\infty.\end{aligned}

Os polinómios P(x) and Q(x) são diferenciáveis. Podemos, portanto, aplicar a regra de l’Hôpital à fracção

\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{-x^{4}-x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+5x+6}

como segue

\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{P(x)}{Q(x)} &=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)} \\&=\dfrac{\lim_{x\rightarrow \infty }-4x^{3}-3x^{2}+6x}{\lim_{x\rightarrow\infty }2x+5} \\&=\dfrac{\lim_{x\rightarrow \infty }-12x^{2}-6x+6}{\lim_{x\rightarrow \infty}2}=-\infty .\end{aligned}

Os dois resultados são evidentemente iguais. O cálculo de

\displaystyle \lim_{x \to 4} \; \dfrac{x-4}{5-\sqrt{x^2+9}}

foi feito nesta questão, havendo muitos outros exemplos neste site.

Exercício. Tente calcular a indeterminação semelhante do limite de

\begin{aligned}\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{5}{\left( x+2\right)\left( 3-x\right) }\end{aligned}

quando x tende para 3.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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