Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

January 21, 2012

Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

Filed under: Desigualdades matemáticas,Exercícios Matemáticos,Matemática,Problemas — Américo Tavares @ 4:57 pm
Tags: Exercícios, Matemática, Problema

No post anterior, ao aplicar o teorema dos resíduos, utilizei a
desigualdade

$\dfrac{1}{\left( z^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert z-i\right\vert^{2}\left\vert z+i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}\times \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert -i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -1\right\vert ^{4}},$

que é uma aplicação de duas desigualdades particulares do tipo

$\dfrac{1}{\left\vert z+w\right\vert}\leq\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert }\qquad (\ast),$

em que $z$ e $w$ são dois complexos quaisquer cuja soma não seja nula. Como exercício, proponho a demonstração de $(\ast)$ , sugerindo que parta da desigualdade triangular

$\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert w\right\vert$

e obtenha a desigualdade

$\left\vert z+w\right\vert \geq \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert .$

Comments (2)

2 Comments »

É uma desigualdade engraçada. Apesar de me parecer óbvia, acho interessante o facto de encontrar aplicações em teoria dos resíduos.

Comment by serolmar — February 11, 2012 @ 11:33 am | Reply
- A desigualdade $\left\vert z+w\right\vert \geq \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert\right\vert$ tem uma interpretação geométrica simples: num triângulo, o comprimento de um dos lados não pode ser inferior à diferença de comprimentos dos outros dois.
  
  Comment by Américo Tavares — February 11, 2012 @ 7:56 pm

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