Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

No post anterior, ao aplicar o teorema dos resíduos, utilizei a
desigualdade

\dfrac{1}{\left( z^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert z-i\right\vert^{2}\left\vert z+i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}\times \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert -i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -1\right\vert ^{4}},

que é uma aplicação de duas desigualdades particulares do tipo

\dfrac{1}{\left\vert z+w\right\vert}\leq\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert }\qquad (\ast),

em que z e w são dois complexos quaisquer cuja soma não seja nula. Como exercício, proponho a demonstração de (\ast),  sugerindo que parta da desigualdade triangular

\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert w\right\vert

e obtenha a desigualdade

\left\vert z+w\right\vert \geq \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert .

About these ads

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Desigualdades matemáticas, Exercícios Matemáticos, Matemática, Problemas com as etiquetas , , . ligação permanente.

2 respostas a Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

  1. serolmar diz:

    É uma desigualdade engraçada. Apesar de me parecer óbvia, acho interessante o facto de encontrar aplicações em teoria dos resíduos.

    • A desigualdade \left\vert z+w\right\vert \geq \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert\right\vert tem uma interpretação geométrica simples: num triângulo, o comprimento de um dos lados não pode ser inferior à diferença de comprimentos dos outros dois.

Deixar uma resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

WordPress.com Logo

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Log Out / Modificar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Log Out / Modificar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Log Out / Modificar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Log Out / Modificar )

Connecting to %s