Problemas Teoremas

Janeiro 21, 2012

Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

Filed under: Desigualdades matemáticas,Exercícios Matemáticos,Matemática,Problemas — Américo Tavares @ 4:57 pm
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No post anterior, ao aplicar o teorema dos resíduos, utilizei a
desigualdade

\dfrac{1}{\left( z^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert z-i\right\vert^{2}\left\vert z+i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}\times \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert -i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -1\right\vert ^{4}},

que é uma aplicação de duas desigualdades particulares do tipo

\dfrac{1}{\left\vert z+w\right\vert}\leq\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert }\qquad (\ast),

em que z e w são dois complexos quaisquer cuja soma não seja nula. Como exercício, proponho a demonstração de (\ast),  sugerindo que parta da desigualdade triangular

\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert w\right\vert

e obtenha a desigualdade

\left\vert z+w\right\vert \geq \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert .

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