Integral real calculado pelo método dos resíduos com aplicação do lema de Jordan

October 13, 2011

Integral real calculado pelo método dos resíduos com aplicação do lema de Jordan

Filed under: Análise Complexa,Integrais,Matemática,Mathematics Stack Exchange — Américo Tavares @ 3:10 pm
Tags: Exercícios, Matemática, MSE

Nesta questão do MSE EMKA perguntou como calcular o integral real

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx\qquad\text{com}\quad a>0$

pelos métodos da Análise Complexa. Apresento a tradução da minha resposta.

Seja

$f(z)=\dfrac{e^{iaz}}{\left(1+z^{2}\right) ^{2}}=\dfrac{e^{iaz}}{(z-i)^{2}(z+i)^{2}}.$

O resíduo de $f(z)$ em $z=i$ é

$\begin{aligned}\underset{z=i}{\mathrm{res}}f(z) &=\dfrac{1}{(2-1)!}\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{d}{dz}\left((z-i)^2f(z)\right)\\&=\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{d}{dz}\left( \dfrac{e^{iaz}}{(z+i)^{2}}\right)=\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{iae^{iaz}(z+i)^{2}-e^{iaz}2\left( z+i\right) }{(z+i)^{4}} \\&=-\dfrac{1}{4}i\left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}$

Designemos o contorno da metade superior do disco $\left\vert z\right\vert =R$ , percorrido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (ver figura) por $C_{R}$ . Pelo teorema dos resíduos

$\begin{aligned}\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{e^{iax}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=2\pi i\underset{z=i}{\ \mathrm{ res}}f(z)e^{iaz} \\&=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}$

Assim,

$\begin{aligned}\text{Re}\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{e^{iax}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\text{Re}\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=\text{Re}\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}, \\ \\\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\text{Re}\displaystyle\int_{C_{R}}\frac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}$

Quando $\left\vert z\right\vert =R$ , verifica-se (veja identidade mais geral aqui.)

$\left\vert \dfrac{1}{(1+z^{2})^{2}}\right\vert =\dfrac{1}{\left\vert z+i\right\vert ^{2}\left\vert z-i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert\left\vert z\right\vert -|i\right\vert ^{2}\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{(R-1) ^{4}}=:M_R,$

o que significa que $M_R>0$ e

$\lim_{R\rightarrow \infty }M_R= \lim_{R\rightarrow \infty }\dfrac{1}{(R-1) ^{4}}=0.$

Podemos aplicar o lema de Jordan, qualquer que seja a constante positiva $a$ , e concluir que

$\lim_{R\rightarrow \infty }\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right)^{2}}dz=0.$

Em consequência,

$\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}$

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx=\dfrac{1}{4}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.$

Nota: O exercício 3 da página 265 de Complex Variables and Applications por James Brown e Ruell Churchill generaliza este integral para

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{( b^2+x^{2}) ^{2}}dx=\dfrac{1}{4b^3}\pi \left( ab+1\right) e^{-ab}\qquad (a>0,b>0).$

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