Cálculo de um integral triplo (coordenadas esféricas) separável em três simples, um de uma função irracional

Posted on Agosto 13, 2011 por

Nesta questão do MSE, de Sean Carruthers aparece o seguinte integral integral triplo, que calculei como segue:

\begin{aligned}I&:=\displaystyle\int_{\theta =0}^{2\pi }\int_{\phi =0}^{\pi}\int_{p=0}^{2}\frac{p^{2}\sin (\phi )}{\sqrt{p^{2}+3}}\;\mathrm{d}p\;\mathrm{d}\phi \;\mathrm{d}\theta \\&=\left( \displaystyle\int_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta \right) \left(\int_{0}^{\pi }\sin(\phi)\;\mathrm{d}\phi\;\right)\left(\int_{0}^{2}\dfrac{p^{2}}{\sqrt{p^{2}+3}}\;\mathrm{d}p\right) \\ &=2\pi \left(\int_{0}^{\pi }\sin(\phi)\;\mathrm{d}\phi\;\right)\left(\int_{0}^{2}\dfrac{p^{2}}{\sqrt{p^{2}+3}}\;\mathrm{d}p\right).\end{aligned}

A primitiva de \sin (\phi ) é -\cos \left( \phi \right) ; assim,

I =4\pi \displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{p^{2}}{\sqrt{p^{2}+3}}\;\mathrm{d}p.

Para integrar p^{2}/\sqrt{p^{2}+3} apliquei um método que é uma consequência deste outro mais geral:

Se P(x) for um polinómio de grau n\geq 2, podemos determinar um polinómio Q(x) de grau n-1 e uma constante C tal que

\displaystyle\int\dfrac{P(x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}\;\mathrm{d}x=Q(x)\sqrt{ax^{2}+bx+c}+\displaystyle\int \dfrac{C}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}\;\mathrm{d}x.

(Descrito em Cálculo Integral em \mathbb{R} de M. Olga Baptista.)

Neste caso P(x)=x^{2} e Q(x) é da forma Q(x)=Ax+B

\displaystyle\int\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+c}}\;\mathrm{d}x=\left( Ax+B\right) \sqrt{x^{2}+c}+\int \frac{C}{\sqrt{x^{2}+c}}\;\mathrm{d}x.

Diferenciando ambos os membros obtém-se:

\begin{aligned}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+c}} &=A\sqrt{x^{2}+c}+\dfrac{x\left( Ax+B\right) }{\sqrt{x^{2}+c}}+\dfrac{C}{\sqrt{x^{2}+c}}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+c}}\left[ A\left( x^{2}+c\right) +x\left(Ax+B\right) +C\right], \end{aligned}

e, portanto

x^{2} =A\left( x^{2}+c\right) +x\left( Ax+B\right) +C=2Ax^{2}+Bx+Ac+C.

Comparando coeficientes, obtemos A=1/2,\;B=0,\;C=-c/2. Logo

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+c}}\;\mathrm{d}x &=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+c}-\dfrac{c}{2} \displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+c}}\;\mathrm{d}x\\&=\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+c}-\dfrac{c}{2}\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+c}\right)\end{aligned}

porque

\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+c}}\;\mathrm{d}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+c}\right)+\text{ constante}.

Por conseguinte

\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{p^{2}}{\sqrt{p^{2}+3}}\;\mathrm{d}p=\sqrt{7}-\dfrac{3}{2}\ln \left( 2+\sqrt{7}\right) +\dfrac{3}{2}\ln \left( \sqrt{3}\right),

e finalmente

I=4\pi \left( \sqrt{7}-\dfrac{3}{2}\ln \left( 2+\sqrt{7}\right) +\dfrac{3}{2}\ln \left( \sqrt{3}\right) \right) .

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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