Integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, com edição de 2007 da SPM, adquiri recentemente o segundo volume, Aritmética Racional, fac-simile da edição de 1945 de Livraria Avelar Machado, dos autores Aniceto Monteiro e Silva Paulo.
O objectivo fundamental do seu ensino no liceu era o de «preparar o aluno para prosseguir estudos superiores»(p.IX) e o programa oficial: «Teoria dos números inteiros considerados como representando colecções de objectos idênticos, e das suas operações. Divisibilidade. Números primos. Máximo divisor comum e menor múltiplo comum. Teoria dos números fraccionários e das suas operações.» Dizem os autores: «Para que a Aritmética se possa chamar Racional é indispensável que ela seja apresentada sob a forma duma teoria dedutiva, e para isso é necessário distinguir cuidadosamente as proposições primitivas das proposições demonstráveis».(p. IX)
Ao expor as leis da unicidade, associativa, modular e comutativa da adição e da multiplicação (p.20-21), enquadram-nas nas leis dum Grupóide, conceito da Álgebra Moderna que não aparece no meu livro do liceu, com o mesmo nome, da década de 1960, de J. Jorge Calado.
Como ilustração do método usado transcrevo o enunciado, a demonstração e um exercício de aplicação do teorema de Fermat. (p. 152-154)
« Teorema 13. (De Fermat). Se
fôr primo então
.
Dem. Seja
e consideremos os produtos:
.
Nenhum produto
(onde
) pode verificar a condição
, porque então seria (§57)
(o que é impossível por hipótese).
Por outro lado, se
não pode ser
, porque se fôsse
, seria (Teor. 10)
. Ora sendo
e
inferiores a
, o que contradiz a hipótese
são dois a dois incongruentes entre si e nenhum dêles é congruente a
. Podemos, por isso, afirmar que
são, respectivamente, congrupentes aos inteiros
escritos numa certa ordem. Daqui resulta que:
ou
ou ainda
donde, pela lei do Corte:
c. q. d. »
« Exercício 10. Se
não fôr divisível por
ou
.
[ Sugestão: Note que
]
Aplicação: O cubo dum inteiro não divisível por
é um múltiplo de
»
terminating at 
for some 
, where it is much closer to the limit than elsewhere.
, where 
is the Prouhet-Thue-Morse sequence. This product is the starting point of their proof.
converges relatively fast to 
, and thus 
to 
:
raised to 
. For instance,
is the binary sequence known as the 
exchange between numerators and denominators, in other words, whether the exponent 
is 
or 
, is the following. Let 
be a sequence of strings of 0′s and 1′s with length 
, with 
. For 
, 
, where 
is obtained from 
is the infinite sequence generated by 
. It has the following property: 
and 
for 
. Thus 
and since 
, one of 
, 
is 
and 
. This means that one of the integers 
and 
is in the numerator and the other in the denominator, which is in accordance with the way how the tall fraction is constructed from fractions 
. Similarly, we have in general (when 
, 
varies from 
.)
, they get
. The trick they use is to multiply both sides of 
by the auxiliary product
the authors state that they “are convergent by Abel’s theorem”, but I must confess I have no idea which theorem is this.
Correio da Manhã, 25.07.2011
associada a 
associada a 
pessoas:
%
%
(nos anos comuns) ou 
(nos anos bissextos), temos a certeza de que pelo menos duas fazem anos no mesmo dia.
, obtemos para os anos comuns,
é a raíz da 
associada à equação homogénea 
e 
é uma solução particular (neste caso, constante) de 
. De 
, deverá ser 
, isto é, 
. Assim 
.
, obtemos 
, donde 
. Por conseguinte a solução de 
é
?”![x=\sqrt[5]{1}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D%5Csqrt%5B5%5D%7B1%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x=\sqrt[5]{1}")
, tem as 
soluções seguintes:
é um zero de 
. Pela divisão de polinómios ou pela regra de Ruffini determinamos
em dois polinómios quadráticos
é 
. Substituíndo-a determinamos os restantes coeficientes:
e
. Sejam
e 
. Então a fracção
and 
de dois inteiros; 
é o 
é o 
