Mais uma vez trago para aqui a minha resposta (tradução) a uma pergunta (autor Slowsolver) no Mathematics Stack Exchange, sobre o cálculo do seguinte somatório:
em que
Notas:
é o enésimo número harmónico.
- Na formatação utilizei os comandos \begin{aligned} e \end{aligned} do
, como verá se passar pelas fórmulas com o rato.
A propósito de números harmónicos, deixo-lhe um desafio para os seus leitores (um grande clássico).
Sabemos que a série harmónica é divergente, o que equivale a dizer que
, 
nunca é um número inteiro.
Mostre que para para
Obrigado pela sugestão. Esta questão já foi colocada (Is there an elementary proof that
is never an integer? ) e respondida no Mathematics Stack Exchange. Algumas abordagens possíveis:
1. Aplicação do Postulado de Bertrand
«Se
for um número natural, então existe um número primo 
tal que 
.»
2. Utilização da proposição « Se
for a maior potência de 
no conjunto 
, então 
não divide nenhum outro inteiro pertencente a 
. »
3. Argumentar com a valoração
ádica de 
, isto é, a diferença dos expoentes de 
do numerador e denominador de 
, nas respectivas factorizações em números primos.
Quando tiver digerido este desafio, voltarei a ele. Entretanto pode ser que algum leitor apresente uma demonstração diferente ou variante destas.
Caro Américo, o terceiro método parece-me simplesmente ser uma tradução num contexto mais formal da ideia por detrás do segundo método, o que tem a desvantagem de deixar de fora as pessoas que não estejam familiarizadas com esse mesmo formalismo. Quanto ao primeiro método, é interessante, mas tem a deselegância de usar um teorema demasiado potente para o que se pretende. Assim, o meu método de eleição, dos que apresenta, é o segundo!
Caro Professor, seguindo o método que me sugere, proponho a seguinte prova de
Proposição: Seja
o enésimo número harmónico. Para
, 
nunca é um número inteiro.
Demonstração: Admitamos que existia um inteiro positivo
para o qual o correspondente 
fosse inteiro. Designemos por 
o menor múltiplo comum dos inteiros compreendidos entre 
e 
. Observemos que 
é um inteiro par. Multiplicando ambos os membros de 
por 
, obtemos
O número
seria um número par. Vamos agora mostrar que um dos termos 
é ímpar e todos os restantes pares. Seja 
a maior potência de 
que divide 
.
Consideremos o maior destes expoentes
. O número 
é a maior potência de 
que divide 
. Existe um e um só inteiro 
compreendido entre 
e 
tal que 
, o que implica que 
é um inteiro ímpar e todos os outros números 
, com 
compreendido entre 
e 
, mas diferente de 
, são pares. Deste facto resulta que o 2.º membro de 
é um número ímpar, ao contrário do 1.º que seria par. Esta contradição é o resultado de termos admitido que 
era inteiro.
Logo,
não pode ser inteiro (para 
superior a 
).
Exemplo numérico:
Expoentes de
na factorização dos denominadores em números primos:
O maior destes expoentes é
Apenas a parcela
é ímpar; as restantes são pares.
Caro Américo,
é este o método em que estava a pensar quando sugeri o problema, sendo efectivamente a chave da questão o facto de o número
ter de ser simultaneamente par e impar, se partirmos do princípio que 
é um número inteiro.
Parece-me ser esta a “melhor” prova, uma vez que não usa nem o postulado de Bertrand (que em si é um resultado menos trivial), nem o formalismo 2-ádico. Este facto, aliado à excelente redacção que propõe, maximiza com certeza o número de leitores que poderão acompanhar a prova deste curioso resultado.
Um abraço,
Filipe
Caro Professor,
Obrigado pela sua “aprovação”!
Um abraço,
Américo