Problemas Teoremas

Novembro 29, 2010

Prova de frequência de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 21/1/70

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Matemática — Américo Tavares @ 1:08 pm
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Ainda sobre Análise Infinitesimal I, do Prof. Dr. Gameiro Pais, transcrevo a minha prova de frequência de 21/1/70.

I

Considere as equações

z=y+\dfrac{\alpha}{2}x\qquad \text{e\qquad }z=-y+\dfrac{1}{2\alpha}x

a) O que representa, para cada valor do parâmetro \alpha, cada uma daquelas equações?

b) O que representa, para cada  \alpha, a intersecção dos 2 conjuntos referidos em a)? Porquê? Escreva na forma canónica as equações desse conjunto.

c) Mostre que a função que faz corresponder a cada \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2} a solução z\geq 0 do sistema formado pelas duas equações iniciais admite a expressão

z=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}}

d) Calcule \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} num ponto (x,y)\neq (0,0)

e) O que pode dizer sobre f_{x}^{\prime }(0,0) e f_{y}^{\prime }(0,0) ?

f) Identifique o gráfico desta função.

g) O que significam os conjuntos referidos em b) em relação ao gráfico daquela função z=f(x,y) ?

II

A função de \mathbb{R} para \mathbb{R}^{3} definida por

x=e^{\lambda }\cdot \text{sen }\lambda \text{, }y=e^{\lambda }\cdot \cos\lambda \text{, }z=e^{\lambda }

estabelece homeomorfias entre os intervalos fechados limitados \left[ a,b\right]\in\mathbb{R} e subconjuntos de \mathbb{R}^{3}.

a) Determine o vector normal principal \overline{n} unitário e a curvatura num ponto genérico.

b) Estabeleça uma expressão da curvatura tomando para variável independente o parâmetro s, abcissa curvilínea, e tomando para origem de contagem de s o ponto de cota z=1 e para sentido positivo de contagem dos arcos o que corresponde às cotas crescentes.

c) Como explica o facto de a expressão da curvatura obtida em b) poder tomar valores negativos para s\leq -\sqrt{3} ?

III

Designe F o espaço vectorial das funções que admitem 1.ª derivada contínua no seu domínio I=\left[ 0,1\right] sujeitas à condição f(0)=0 (com as definições habituais da adição de funções e de multiplicação de um número real por uma função) e seja \mu a norma definida neste espaço por

\mu (f)=\text{M\'{a}x}\left\{ \left\vert f(x)\right\vert ,x\in I\right\}\text{.}

a) Mostre que a expressão

\beta (f)=\text{M\'{a}x}\left\{\left\vert f(x)\right\vert ,\left\vert f^{\prime }(x)\right\vert ,x\in I\right\}

também define uma norma em F.

b) Diga se é \beta\sim\mu e justifique a afirmação.

Novembro 28, 2010

O meu exame final de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 29/6/70

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Exames,Matemática — Américo Tavares @ 6:57 pm
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Transcrevo o enunciado do exame final, de 29/6/70, da disciplina anual Análise Infinitesimal I, leccionada no IST, em 69/70, no 2.º ano, nos cursos de engenharia, pelo Prof. Dr. Gameiro Pais.

I

Sejam (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}) dois espaços métricos e defina-se em E_{1}\times E_{2}=E

d(x,y)=\text{M\'{a}x}\left\{ d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\right\}

para todos x=(x_{1},x_{2})\in E e y=(y_{1},y_{2})\in E.

a) Mostre que d é uma distância em E.

b) Mostre que se tem B_{r}(a)=B_{r}^{1}(a_{1})\times B_{r}^{2}(a_{2}), \forall a=(a_{1},a_{2})\in E, \forall r>0.

c) Mostre que se A_{1} e A_{2} são conjuntos abertos respectivamente em (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}), A_{1}\times A_{2} é um conjunto aberto em (E,d).

II

Considere a função f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R} definida por

f(x,y)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+1\quad \text{se\ }(x,y)\in\mathbb{Q}^{2} \\ \text{\ \ }1-2x-2y\quad \text{\ \ se\ }(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\backslash\mathbb{Q}^{2}\end{array}\right.

a) Estude esta função quanto a continuidade. Justifique as suas afirmações.

b) Determine os pontos em que existe alguma das derivadas parciais.

c) Mostre que em nenhum ponto existem as duas derivadas parciais.

d) Qual é a razão pela qual se conclue da alínea anterior que esta função não é diferenciável em nenhum ponto?

III

a) Determine uma função u(x,y,z) cuja diferencial seja igual a

e^{-xy}\left[ (y-xy^{2}+yz)\text{\ }dx+(x-x^{2}y+xz)\text{\ }dy-dz\right]

calculando um integral curvilíneo ao longo de uma “trajectória” de (0,0,0) para (x,y,z).

b) Calcule o volume da região limitada pelos cilindros hiperbólicos

xy=1,xy=9,xz=4,xz=36,yz=25 e yz=49.

Sugestão: Faça xy=u,xz=v,yz=w.

* * *

Meu Caderno de Apontamentos


Novembro 24, 2010

Números harmónicos — racionais mas não inteiros

Filed under: Demonstração,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 7:02 pm
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No resultado do cálculo do somatório apresentado na última entrada apareceram números harmónicos. O leitor Filipe Oliveira lançou o desafio de mostrar que nenhum número harmónico de ordem superior a a 1 é um número inteiro. O seu nome deriva da conhecida série harmónica divergente

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}+\cdots

Concretamente o termo de ordem n da sucessão das somas parciais  desta série é conhecido por enésimo número harmónico, sendo designado habitualmente por

H_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}

Uma das formas de provar que a série é divergente, consiste em mostrar que a soma de k termos

\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{2k-1}+\dfrac{1}{2k}

é minorada por \dfrac{1}{2}, bastando reparar que cada um destes termos é igual ou superior a \dfrac{1}{2k}

\underset{k\text{ termos}}{\underbrace{\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots+\dfrac{1}{2k-1}+\dfrac{1}{2k}}}\geq \underset{k\text{ termos}}{\underbrace{\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{2k}+\cdots +\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{2k}}}=k\dfrac{1}{2k}=\dfrac{1}{2}

Voltando à natureza aritmética dos números harmónicos, publiquei uma demonstração, neste comentário, que aqui destaco, aplicando uma propriedade da divisão do menor múltiplo comum dos inteiros entre 1 e n, sucessivamente por cada um destes inteiros superiores a 1. Como se sabe a factorização do inteiro n em números primos é única, sendo da forma

n=p^{e_{p}(n)}\times q^{e_{q}(n)}\times\cdots\times r^{e_{r}(n)}

em que p,q,\ldots ,r são números primos e e_{p}(n), e_{q}(n),\ldots,e_{r}(n) os respectivos expoentes.

Proposição: Seja

H_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}\qquad (\ast )

o enésimo número harmónico. Para n>1, H_{n} nunca é um número inteiro.

Demonstração: Admitamos que existia um inteiro positivo n para o qual o correspondente H_{n} fosse inteiro. Designemos por d_{n} o menor múltiplo comum dos inteiros compreendidos entre 1 e n. Observemos que d_{n} é um inteiro par. Multiplicando ambos os membros de (\ast ) por d_{n}, obtemos

d_{n}H_{n}=d_{n}+\dfrac{d_{n}}{2}+\dfrac{d_{n}}{3}+\cdots +\dfrac{d_{n}}{n}\qquad (\ast \ast )

O número d_{n}H_{n} seria um número par. Vamos agora mostrar que um dos termos \dfrac{d_{n}}{2},\dfrac{d_{n}}{3},\cdots ,\dfrac{d_{n}}{k},\cdots ,\dfrac{d_{n}}{n} é ímpar e todos os restantes pares. Seja 2^{e_{2}(k)} a maior potência de 2 que divide 2\leq k\leq n.

Consideremos o maior destes expoentes M=\max \{e_{2}(2),e_{2}(3),\ldots,e_{2}(n)\}. O número 2^{M} é a maior potência de 2 que divide d_{n}. Existe um e um só inteiro q compreendido entre 2 e n tal que e_{2}(q)=M, o que implica que \dfrac{d_{n}}{q}=\dfrac{d_{n}}{2^{M}} é um inteiro ímpar e todos os outros números \dfrac{d_{n}}{r}, com r compreendido entre 2 e n, mas diferente de q=2^{M}, são pares. Deste facto resulta que o 2.º membro de (\ast \ast ) é um número ímpar, ao contrário do 1.º que seria par. Esta contradição é o resultado de termos admitido que H_{n} era inteiro.

Logo, H_{n} não pode ser inteiro (para n superior a 1).

Claro que quanto a serem racionais decorre simplesmente do facto de estarmos a somar um número finito de parcelas racionais, em cada uma das vezes. Termino com um exemplo numérico do argumento utilizado na demonstração, já antes também publicado, como comentário.

Exemplo numérico:

H_{6}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}

d_{6}=\text{mmc}(1,2,3,4,5,6)=2^{2}\times 3\times 5=60

d_{6}H_{6}=60H_{6}=60+\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{2}+\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{3}+\left( \dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{4}\right) + +\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{5} +\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{6}=147

Expoentes de 2 na factorização dos denominadores em números primos:

e_{2}(2)=e_{2}(6)=1, e_{2}(3)=e_{2}(5)=0 , e_{2}(4)=2

O maior destes expoentes é

M=\max \{e_{2}(2),e_{2}(3),e_{2}(4),e_{2}(5),e_{2}(6)\}=2

Apenas a parcela

\dfrac{d_{6}}{q}=\dfrac{d_{6}}{2^{M}}=\dfrac{2^{2}\times 3\times 5}{4}=15

é ímpar; as restantes são pares.

Novembro 21, 2010

Cálculo de um somatório de uma fracção racional do índice

Filed under: LaTeX,Matemática,Matemática Discreta,Mathematics Stack Exchange — Américo Tavares @ 11:59 pm
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Mais uma vez trago para aqui a minha resposta (tradução) a uma pergunta (autor Slowsolver) no Mathematics Stack Exchange, sobre o cálculo do seguinte somatório:

\displaystyle\begin{aligned}S_{n}&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n-k+1}{(n+1)(n+2)(n-k+2)}\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n-k+1}{n-k+2}\quad (n+1)(n+2)\text{ independente de }k\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}\dfrac{m-1}{m}\qquad\text{substitui\c{c}\~{a}o }m=n-k+2\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}\left( 1-\dfrac{1}{m}\right)\\&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}1\right)-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\sum_{m=2}^{n+2}\dfrac{1}{m}\\&=\dfrac{n+2-2+1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\left( \sum_{i=1}^{n+2}\dfrac{1}{i}\right) +\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\&=\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{H_{n+2}}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\&=\dfrac{n+2-H_{n+2}}{(n+1)(n+2)}\end{aligned}

em que

H_{n+2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+2}\dfrac{1}{i}.

Notas:

  • H_n é o enésimo  número harmónico.
  • Na formatação utilizei os comandos \begin{aligned} e  \end{aligned} do  \LaTeX, como verá se passar pelas fórmulas com o rato.

Novembro 17, 2010

Equação trigonométrica linear no seno e no co-seno 1 = m cos α + sin α redutível a uma quadrática

Filed under: Matemática,Matemática-Secundário,Mathematics Stack Exchange,Trigonometria — Américo Tavares @ 12:10 pm
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Nesta questão do Mathematics Stack Exchange,  ftiaronsem pede a resolução da equação

1=m\cos \alpha+\sin \alpha

Eis a tradução da minha resposta.

Como se explica nos comentários certas equações como a equação linear em \sin x e \cos x podem resolver-se por uma equação resolvente quadrática. Um dos métodos é escrever as funções \sin x e \cos x em termos da mesma função trigonométrica. Dado que todas as funções trigonométricas (directas) do ângulo simples se podem exprimir racionalmente em função de \tan do semi-ângulo, é adequada uma tal transformação para estas equações.

Visto que

\cos \alpha =\dfrac{1-\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}

e

\sin \alpha =\dfrac{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}}

a equação

m\cos \alpha +\sin \alpha =1

é equivalente a

m-m\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}+2\tan \dfrac{\alpha }{2}=1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha }{2}.

Pode-se pôr x=\tan \dfrac{\alpha }{2} (\alpha =2\arctan x), e dessa forma obter a equação quadrática

\left( 1+m\right) x^{2}-2x+1-m=0.

As suas soluções são: x=\dfrac{1}{m+1}\left( -m+1\right) (se m\neq -1) ou x=1 (se m=-1), o que dá:

i) se m\neq -1,

\alpha =2\arctan x=2\arctan \dfrac{1-m}{m+1},

ii) se m=-1,

\alpha =2\arctan 1=\dfrac{\pi }{2}.

Uma técnica diferente para resolver uma equação linear em \sin \alpha e \cos \alpha é utilizar um ângulo auxiliar \varphi . Se se fizer m=\tan \varphi , a equação toma a forma

\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1

ou

\sin (\alpha +\varphi )=\cos \varphi =\dfrac{1}{\pm \sqrt{1+\tan ^{2}\varphi }}=\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}},

e obter

\alpha =\pm \arcsin \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}-\arctan m.

Dedução pormenorizada: de m\cos \alpha +\sin \alpha =1 e m=\tan \varphi , obtemos

\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1

ou

\sin \alpha +\dfrac{\sin \varphi }{\cos \varphi }\cdot \cos \alpha =1

\dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \varphi +\sin \varphi \cdot \cos \alpha }{\cos \varphi }=1

\dfrac{\sin \left( \alpha +\varphi \right) }{\cos \varphi }=1 \sin \left( \alpha +\varphi \right) =\cos \varphi .

A identidade

\cos \varphi =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}

pode obter-se como segue

\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi =1

\dfrac{\sin ^{2}\varphi }{\cos ^{2}\varphi }+1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }

\tan ^{2}\varphi +1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }

\cos ^{2}\varphi =\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }.

Portanto

\sin \left( \alpha +\varphi \right) =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}

\alpha +\varphi =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}\right)

(m=\tan \varphi , \varphi =\arctan m)

\alpha +\arctan m=\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right)

e finalmente

\alpha =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right) -\arctan m.

—

Nota bibliográfica: Estes métodos estão expostos no livro do 3.º ciclo do Ensino Liceal  de J. Calado  Compêndio de Trigonometria de 1967.

Livro “Treze Viagens pelo Mundo da Matemática” destinado a professores de matemática do Ensino Secundário

Filed under: Divulgação,Livros,Matemática,Notícia — Américo Tavares @ 10:30 am
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Tomei conhecimento do lançamento deste livro neste post do blogue Matemativerso.

Do Ciência Hoje, Luísa Marinho, 2010-11-10:

« Livro destinado a professores do ensino secundário promove o gosto pela disciplina

 
Livro de “características únicas”, «Treze Viagens pelo Mundo da Matemática», organizado por Carlos Correia de Sá e Jorge Rocha (Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto), surge de um desafiou lançado a matemáticos profissionais para criarem um livro destinado a professores do ensino secundário. Editado pela Universidade do Porto, o livro foi apresentado ontem, na Fnac de Santa Catarina, no Porto, por Jorge Buescu.
Para um auditório lotado, o matemático e professor do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, descreveu esta obra como “extraordinária”. É um livro “que se entende” e que “promove o gosto pela matemática”, escrito por profissionais que desenvolvem as suas ideias de uma forma lógica.
(…)
Buescu dá o exemplo do artigo de João Filipe Queiró sobre o centro da gravidade e como calculá-lo. O autor explica este tema a partir da observação do salto em altura e de como, e porquê, se alterou a técnica desta modalidade.
Os 13 capítulos têm estilos e abordagens diferentes. Esta diversidade, acredita, “aumenta a riqueza do livro”.
(…)
Um dos autores do livro, António Machiavelo, presente na apresentação, afirmou que gostava de ter tido este livro para ler quando se começou a interessar pela matemática. Acredita que o livro funciona bem porque “há paixão em cada um dos textos publicados”. »

E notícia de U.PORTO EDITORIAL, 25.09.2010:

 

« (…). A apresentação da obra será feita por Jorge Buescu, matemático e professor do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.
António Guedes de Oliveira, António Machiavelo, Christian Lomp, Jorge Miguel Milhazes de Freitas, José Carlos Santos, Lucinda Lima, Luís Oliveira, Maria Leonor Moreira, Maria Pires de Carvalho, Samuel António Lopes, todos professores da FCUP, Ana Cristina Moreira de Freitas (Faculdade de Economia da Universidade do Porto), António Bivar (professor na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa), António Marques Fernandes (Instituto Superior Técnico), João Filipe Queiró (Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra) e Sandra Mónica Pires (Escola Secundária de Arouca) são os autores dos textos incluídos.

O livro destina-se aos professores de matemática do Ensino Secundário, procurando inspirá-los na adopção de novas abordagens e ajudá-los a fomentar hábitos de pesquisa nos seus alunos. Mas o livro dirige-se também aos alunos e a um público mais vasto que pretenda alargar os seus horizontes matemáticos. O prefácio é escrito por Nuno Crato que define o livro como “divertido e instrutivo”.
(…) »

Novembro 16, 2010

Uma propriedade das proporções (razão da soma e diferença dos termos)

Filed under: Demonstração,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemática-Básico,Matemática-Secundário,Trigonometria — Américo Tavares @ 9:39 pm
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Numa proporção \dfrac{p}{q}=\dfrac{r}{s} a soma dos antecedentes (p,r) está para a sua diferença, assim como a soma dos consequentes (q,s) está para a sua diferença.

Justificação: a proporção

\dfrac{p}{q}=\dfrac{r}{s}

é equivalente à equação

qr=ps

ou

2qr-2ps=0

Atendendo a que \left( p+r\right) \left( q-s\right) -\left( p-r\right) \left( q+s\right) =2qr-2ps, será

\left( p+r\right) \left( q-s\right) -\left( p-r\right) \left( q+s\right) =0

ou como enunciado

\dfrac{p+r}{p-r}=\dfrac{q+s}{q-s}

Exercício: aplique esta propriedade à lei dos senos dos ângulos de um triângulo.

Novembro 12, 2010

Physics – Stack Exchange, Perguntas e Respostas sobre Física

Filed under: Ciência,Divulgação,Notícia — Américo Tavares @ 10:40 am
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Abriu recentemente a fase beta pública de Physics – Stack Exchange, um site em Inglês de perguntas e respostas de Física, destinado a investigadores, académicos e estudantes.

Adenda: A descrição matemática (Cálculo) do equilíbrio e indicações quanto ao movimento do cilindro desobediente pode ser lida nesta resposta à minha pergunta Equilibrium and movement of a cylinder with asymmetric mass centre on an inclined plane que formulei neste fórum.

Fonte

O meu interesse quanto a este tipo de cilindros iniciou-se com a leitura do artigo O Segredo do Cilindro, no De Rerum Natura, no qual aparece a seguinte figura.

Fonte

Novembro 11, 2010

Número especial do Boletim da SPM sobre Aureliano de Mira Fernandes

Filed under: Divulgação,Matemática,Notícia — Américo Tavares @ 4:48 pm
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Recebi hoje este número especial do Boletim com as Actas do Colóquio do cinquentenário da morte de Aureliano de Mira Fernandes, do qual reproduzo a capa e o Sumário.

 

(clique para ler melhor)

Novembro 10, 2010

Pentágono, complexos e trigonometria

Filed under: Cálculo,Demonstração,Exercícios Matemáticos,Identidade matemática,Matemática,Matemáticas Gerais,Trigonometria — Américo Tavares @ 4:08 pm
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Suponhamos que pretendemos determinar

\dfrac{x^{n}-a^{n}}{x-a}

Como x=a é uma solução de x^{n}-a^{n}=0 o resto da divisão de x^{n}-a^{n} por x-a será nulo. Podemos determinar o polinómio quociente através do método geral da divisão polinomial — em tudo semelhante à divisão aritmética de dois números –, dividindo o polinómio do numerador pelo do denominador. Como é de difícil reprodução aqui (relacionado com o código \LaTeX de escrita matemática), vou utilizar o método alternativo dos coeficientes indeterminados. Seja Q(x) o polinómio quociente, isto é

x^{n}-a^{n}=\left( x-a\right) Q(x)+R(x)=\left( x-a\right) Q(x)=xQ(x)-aQ(x)

atendendo a que neste caso o resto R(x)=0. Notemos que o grau de Q(x) há-de ser n-1:

Q(x)=x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}+q_{2}x^{n-3}+\cdots +q_{n-2}x+q_{n-1}

Fazendo o desenvolvimento de xQ(x)-aQ(x), obtém-se

x^{n}-a^{n}= x\left( x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}+\cdots +q_{n-2}x+q_{n-1}\right) -a\left( x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}+\cdots +q_{n-2}x+q_{n-1}\right)

=x^{n}+\left( q_{1}-a\right) x^{n-1}+\left( q_{2}-aq_{1}\right) x^{n-2}+\cdots

+\cdots +\left( q_{n-2}-aq_{n-3}\right) x^{2}+\left( q_{n-1}-aq_{n-2}\right) x-aq_{n-1}

Comparando agora coeficientes obtemos

q_{1}=a q_{k}=aq_{k-1}\qquad k=2,3,\ldots ,n-1

aq_{n-1}=a^{n}

ou seja q_{1}=a e

q_{k}=aq_{k-1}=a^{2}q_{k-2}=\cdots =a^{k}\qquad k=2,3,\ldots ,n-1

donde

x^{n}-a^{n}=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1})

ou

\dfrac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=x^{n-1}+ax^{n-2}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1}

Exemplo: Num pentágono regular determine \cos \alpha , em que \alpha é o ângulo igual a 1/5 do ângulo giro \alpha =\dfrac{2\pi }{5}.

Geometricamente é o ângulo ao centro formado por dois raios que unem o centro do círculo circunscrito a um pentágono regular a dois dos seus vértices adjacentes.

Começo por transformar este problema trigonométrico num de variáveis complexas. Para isso faço w=e^{i2\pi /5}\neq 1. Pondo a=1, na fórmula anterior e substituindo x por w,obtém-se:

w^{5}-1=(w-1)(w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1)

Como w^{5}=e^{i2\pi }=1, então w^{5}-1=0 e sendo w\neq 1 será

w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1=0

e também

\text{Re}\left( w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1\right) =0

pelo que, atendendo a que \text{Re}w^{4}=\cos \dfrac{8\pi }{5}, \text{Re}w^{3}=\cos \dfrac{6\pi }{5}, etc., vem sucessivamente

\cos \dfrac{8\pi }{5}+\cos \dfrac{6\pi }{5}+\cos \dfrac{4\pi }{5}+\cos \dfrac{2\pi }{5}+1=0

\cos \left( 2\pi -\dfrac{2\pi }{5}\right) +\cos \left( 2\pi -\dfrac{4\pi }{5}\right) +\cos \dfrac{4\pi }{5}+\cos \dfrac{2\pi }{5}+1=0

2\cos \left( \dfrac{4\pi }{5}\right) +2\cos \left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +1=0.

Como

\cos \left( \dfrac{4\pi }{5}\right) =\cos ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) -\sin ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right)

será

2\cos ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) -2\sin ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +2\cos \left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +1=0

4\cos ^{2}\left( \dfrac{2\pi }{5}\right) +2\cos \left( \dfrac{2\pi }{5}\right) -1=0

ou seja

\cos \dfrac{2\pi }{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}

igual ao valor calculado de outra forma nesta entrada sobre a construção do pentágono

Fonte

Ciclo de Conferências Gulbenkian Image in Science and Art

Filed under: Ciência,Divulgação,Gulbenkian — Américo Tavares @ 4:05 pm
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   Informação recebida da Fundação Calouste Gulbenkian, com pedido de divulgação:

        « A Fundação Calouste Gulbenkian, em colaboração com o Centro de Filosofia das Ciências da Universidade de Lisboa, promove um ciclo internacional de conferências intitulado Image in Science and Art, que terá início a 17 de Novembro, às 18.00, com a conferência “Taking it on Trust” in Images of Nature e que será proferida por Martin Kemp, reconhecido investigador da obra de Leonardo da Vinci.

Martin Kemp dedica-se ao estudo de imagens na arte e na ciência desde a Renascença até aos dias de hoje. É autor do livro Leonardo da Vinci que lhe valeu o Prémio Mitchell. Foi curador da exposição Leonardo da Vinci, na Hayward Gallery de Londres. É organizador e co-autor do livro The Oxford History of Western Art.

 Ciclo de Conferências Image in Science and Art

FUNDAÇÃO CALOUSTE GULBENKIAN |AUDITÓRIO 2 | 18.00

 CONFERÊNCIA INAUGURAL
    17 Novembro 2010 | 18.00
    “Taking it on Trust” in Images of Nature
    Martin Kemp

 PRÓXIMAS CONFERÊNCIAS:

15 Dezembro 2010 | 18.00
    The Problem of a Picture of an Atom
    Christopher Toume

19 Janeiro 2011| 18.00
    Visiting Time: The Renegotiation of Time through Time-Based Art
    Boris Groys

2 Fevereiro 2011 | 18.00
    Functional Images of the Brain: Beauty, Bounty, and Beyond
    Judy Illes

 Tradução simultânea

    INFORMAÇÕES:

Rita Rebelo de Andrade

| SERVIÇO DE CIÊNCIA | FUNDAÇÃO CALOUSTE GULBENKIAN

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Novembro 8, 2010

Funcões trigonométricas inversas em termos das funções exponencial e logarítmica

Filed under: Análise Complexa,Identidade matemática,Matemática,Teorema / Teoria,Trigonometria — Américo Tavares @ 8:28 pm
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Já sabia que as funcões trigonométricas directas se podem exprimir em termos da função exponencial complexa. Mas só recentemente aprendi que, acrescentando-lhe o logaritmo, o mesmo acontece com as funções trigonométricas inversas, que têm uma representação fechada nas funções exponencial e logarítmica, como é o caso da função (que aparece, como exemplo, em What is a Closed-Form Number? de Timothy Y. Chow )

f(x)=\arccos x=-i\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right)

cuja verificação é simples. Começo por dar outra forma à função exponencial do 2.º membro:

e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}=\sqrt{x^{2}-1}

Então

\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right) =\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

pelo que

f(x)=-i\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

Calculo agora o \cos [f(x)]:

\cos [f(x)] =\cos \left( -i\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \right)

Da identidade bem conhecida

\cos \alpha =\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}

na forma

\cos i\alpha =\dfrac{e^{-\alpha }+e^{\alpha }}{2}

deduzimos sucessivamente:

\cos \left[ f(x)\right] =\dfrac{e^{-\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) }+e^{\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) }}{2}

=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}+x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\left( 1+\left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) ^{2}\right) \left( x-\sqrt{x^{2}-1}\right) }{\left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \left( x-\sqrt{x^{2}-1}\right) }=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x}{1}=x

pelo que efectivamente

f(x)=\arccos x

E como se exprime \arcsin x nestas funções? Atendendo a que \arcsin x=\dfrac{\pi }{2}-\arccos x e dado que \log (-1)=\log 1+i\pi =i\pi , obtemos

\arcsin x=-i\dfrac{\log (-1)}{2}+i\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right)

A relação trigonométrica

\arctan x=\arcsin \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

permite chegar a

\arctan x=-i\dfrac{\log (-1)}{2}+i\log\left( \dfrac{e^{\log x}}{e^{\dfrac{\log (x^{2}+1)}{2}}}+e^{\dfrac{\log \left( \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}-1\right) }{2}}\right)

Adenda: acrescento, como me foi sugerido, uma pequena referência às funções hiperbólicas, que também gozam da mesma propriedade. Por exemplo:

\sinh x=\dfrac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})

Vê-se na Wikipédia que a função hiperbólica inversa se exprime na função logarítmica:

\arg \sinh x=\log (x+\sqrt{x^{2}+1})

o que se pode verificar, calculando o seno hiperbólico de \arg \sinh x assim representado, chegando-se naturalmente a x:

\sinh (\arg \sinh x)=\sinh \left( \log (x+\sqrt{x^{2}+1})\right)

=\dfrac{1}{2}\left( e^{\log (x+\sqrt{x^{2}+1})}-\dfrac{1}{e^{\log (x+\sqrt{x^{2}+1})}}\right)

=\dfrac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+1}-\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)

=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) ^{2}-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right) =-\dfrac{1}{2}\left( -2x\right) =x

Da definição do co-seno hiperbólico

\cosh x=\dfrac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})

obtemos as identidades hiperbólicas

\cosh x+\sinh x=e^{x}

e

\cosh ^{2}x=\dfrac{1+\cosh 2x}{2}

Como

\sinh ^{2}x=\dfrac{-1+\cosh 2x}{2}

a soma dos quadrados vem

\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x

e a sua diferença

\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1

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