Compilação de alguns cálculos financeiros

Posted on Setembro 17, 2010 por Américo Tavares

Para facilitar a consulta das entradas já publicadas na categoria de “Cálculo Financeiro” agrupo-as aqui, por ordem cronológica.

1 – Base dos logaritmos naturais e juros

pdf: ver caderno

A base $e$ dos logaritmos naturais $\log x=\log_e (x)$ aparece no cálculo financeiro no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta.

Vou começar pelo caso discreto.

Admitamos que num determinado contrato se aplica, em cada trimestre, uma taxa de juro $i$ composta (trimestralmente, isto é $4$ vezes por ano). A taxa nominal anual $i_{N}$ é então

$i_{N}=4\times i$ ,

pelo que

$i=\dfrac{i_{N}}{4}$ .

Se o capital investido no início for $P$ , os montantes futuros $F$ ao fim dos vários períodos trimestrais serão:

- 1º trimestre: $F_1=P\left (1+i\right )$

- 2º trimestre: $F_2=P\left (1+i\right )^2$

- 3º trimestre: $F_3=P\left (1+i\right )^3$

$\ldots$

- trimestre $n$ : $F_n=P\left (1+i\right )^n=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{4}\right )^n$ .

Se em vez de $4$ períodos de capitalização, houver $m$ , passaremos a ter ao fim desses $m$ períodos, o montante

$F_m=P\left (1+i\right )^m=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m$ .

Por isso

$F_m-P=P\left (\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1\right )$

$\dfrac{F_m-P}{P}=\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1$ ,

o que traduz a taxa efectiva $i_E$ do contrato, ou seja a relação entre os juros durante um ano e o capital $P$ , conhecido por principal.

Exemplos numéricos: Se a taxa nominal do contrato for de $12\%$ ao ano composta

semestralmente, a taxa efectiva será $i_E=\left (1+\dfrac{0,12}{2}\right )^2-1\approx 12,36\%$
trimestralmente, $i_E$ $=\left (1+\dfrac{0,12}{4}\right )^4-1\approx 12,55\%$
mensalmente, $i_E$ $=\left (1+\dfrac{0,12}{12}\right )^{12}-1\approx 12,68\%$
ao dia, $i_E$ $=\left (1+\dfrac{0,12}{365}\right )^{365}-1$ $\approx 12,75\%$ .

E o que acontece se a taxa for composta em infinitos períodos? É a chamada composição contínua. Corresponde, neste exemplo, ao limite de

$i_E$ $=\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1$

quando $m$ tende para $+\infty$ .

Como é bem sabido do início da Análise,

$\displaystyle\lim_{m\to +\infty}\left (1+\dfrac{1}{m}\right )^m=e$ .

Por este motivo tem-se, no exemplo

$\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1=$ $\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{\dfrac{m}{0,12}}\right )^{0,12}-1$ $=e^{0,12}-1\approx 12,75\%$ .

No caso geral da taxa $i_N=r$ (para simplificar a notação que se segue) será

Em resumo, na composição contínua a relação entre as taxas de juro nominal $r$ e efectiva $i_{E,\infty}$ é dada por

$i_E$ $=\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1,$

donde

$\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1=$ $\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{\dfrac{m}{r}}\right )^{r}-1=e^r-1$ .

$i_{E,\infty}=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E$ $=e^{r}-1$ .

ADENDAS DE 13-6-2008 E 20-8-2008: pode ver nesta entrada um exemplo de aplicação de

$i_E$ $=\left (1+\dfrac{i_N}{m}\right )^{m}-1$

bem como nesta.

2 – Logaritmos nos cálculos financeiros

pdf: ver caderno

Suponha o leitor que pretende determinar a taxa nominal anual que composta mensalmente origina uma taxa efectiva de $19,56\%$ . A relação entre a taxa efectiva ( $i_E$ ) e a nominal ( $i_N$ ) é dada pela conhecida igualdade

$i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1$ ,

em que $m$ é o número de períodos de capitalização.

Numericamente será:

$0,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}-1$

$1,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}$

Aplicando logaritmos a ambos os membros desta igualdade, teremos sucessivamente

$\ln 1,1956=\ln \displaystyle\left(\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}\right)$

$\ln 1,1956=12\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right)$

$0,014887=\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right)$ .

Agora calcula-se o anti-logaritmo:

$e^{0,014887}=1+\dfrac{i_N}{12}$

e como $e^{0,014887}=1,014999$ ,

$1,014999=\displaystyle 1+\dfrac{i_N}{12}$

$0,014999=\dfrac{i_N}{12}$

$0,014999\times 12=i_N$

$0,0179988=i_N$

A taxa nominal anual é pois igual a $18\%$ .

Sobre o comportamento de

$i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1$

quando $m$ tende para infinito, veja esta minha entrada.

3 – Série uniforme de pagamentos: Formação de capital

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Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de $n$ pagamentos constantes $A$ à taxa de juro $i$ e que pretende saber qual a relação entre o capital $F$ , no fim dos $n$ períodos, e o valor de $A$ .

O primeiro pagamento rende juros durante $n-1$ períodos. O segundo, durante $n-2$ e, em geral, o do período $k$ , durante $n-k$ períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período $k$ é

$F_k=A(1+i)^{n-k}$ .

Se somarmos todos os valores futuros $F_k$ , para $k=1,2,\dots,n$ , atendendo à fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão geométrica de razão $c$ e primeiro termo $u_1$ , que é igual a

$u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}$ ,

em que, neste caso, $u_1=A$ (ver a seguir $\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}$ ) e $c=1+i$ , obtém-se

$F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ .

Se exprimirmos $A$ em função de $F$ , virá

$A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}$ .

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos $A$ são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro $i$ permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de $5\%$ , de modo que o seu saldo venha a ser igual a $10\; 000$ unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de $10\%$ ?

Neste caso devemos determinar $A$ , conhecida a taxa de juro $i=5\%$ e o valor futuro $F=10\; 000$ , para $n=10$ :

$A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05$ unidades monetárias.

Para $n=20$

$A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43$ unidades monetárias.

Se $i=10\%$ , tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, $627,45$ e $174,60$ unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de $n$ anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for $r$ , a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a $e^r-1$ , pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

$A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}$ .

P. S. corrigido erro num somatório. Usado $c$ para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa $r$ do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação $F/A$ em função da taxa de juro $i$ para $n=10$ períodos

E como determinar $i$ conhecidos $A,F$ e $n$ ? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

4 – Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

pdf: ver caderno

Suponha que tem a seguinte relação

$y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}$

e que pretende calcular $x$ para um dado valor de $y.$ Por exemplo $y=15.$
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

$\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.$

No caso geral tem-se uma equação não linear

$f(x)=0$

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais $x_{1}$ e $x_{2}$ e geramos uma sucessão de valores $x_{i}$ ( $i=2,3,\ldots$ ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por $\left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)$ e por $\left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right)$ tem o coeficiente angular

$m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

e a sua equação é

$y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}$ .

Cruza o eixo dos $x$ no ponto de abcissa $x_{3}$

$x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }$

Se tomarmos agora a recta que passa pelos pontos $\left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right)$ e $\left( x_{3},y_{3}=f\left( x_{3}\right) \right)$ , chegamos à intersecção com o eixo dos $x$ na abcissa $x_{4}$ dada por

$x_{4}=x_{3}-f\left( x_{3}\right) \times\dfrac{x_{3}-x_{2}}{f\left( x_{3}\right) -f\left( x_{2}\right) }$ .

Em geral, para o inteiro $k=2,3,4\ldots$ obtemos, por este método, a aproximação

$x_{k+1}=x_{k}-f\left( x_{k}\right) \times\dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{f\left( x_{k}\right) -f\left( x_{k-1}\right) }.$

Para o exemplo inicial, se escolhermos $x_{1}=0,05$ e $x_{2}=0,15,$ obtemos sucessivamente

$x_{3}=0,081350791,$

$x_{4}=0,086390197,$

$x_{5}=0,087335225,$

$x_{6}=0,087320486,$

$x_{7}=0,087320522,\ldots$ .

A função $f(x)$ toma os valores $f(x_{5})=0,001051291,$ $f(x_{6})=-2,57456\times 10^{-6},$ $f(x_{7})=-9,9611\times 10^{-11}.$ O zero da função é então cerca de $0,08732.$

Este exemplo foi escolhido para calcular numericamente a taxa $i$ a que devem ser depositadas anualmente, durante dez anos, quantias numa conta, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 15 anuidades.

Dada a fórmula aplicável a esta série uniforme

$\dfrac{F}{A}=\dfrac{\left( 1+i\right) ^{10}-1}{10}=15$ ,

a taxa de juro deve ser $8,732\%.$

ADITAMENTO DE 31-12-2008: pode ver nesta entrada outro método de determinação da raiz de uma equação não linear: o de Newton.

5 – Outro exercício de cálculo financeiro: série uniforme e recuperação de capital

pdf: ver caderno

Foram emprestadas 100 000 unidades monetárias à taxa de juro (nominal anual) de 7% capitalizada semestralmente. O reembolso será feito semestralmente, em capital e juros, durante 30 anos.

Qual a parte da dívida que falta pagar ao fim de 10 anos?

No caso geral, teremos de calcular o valor dos pagamentos constantes $A$ dado o valor do capital principal $P$ .

Durante $n$ períodos, neste caso semestrais, são pagos $A$ unidades monetárias em cada. O valor $A$ do período $k$ equivale ao valor presente de $\dfrac{A}{(1+i)^k}$ unidades monetárias, em que $i$ é a taxa de juro em cada período de capitalização. Se somarmos em $k$ , de $1$ a $n$ , obtemos o somatório

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k}$ .

Como noutros casos anteriores de cálculo financeiro já expostos, deparamo-nos com a soma de uma progressão geométrica, neste caso de razão $c=\dfrac{1}{1+i}$ e primeiro termo $u_1=\dfrac{A}{1+i}$ :

$u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}=\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^n-1}{ \dfrac{1}{1+i} -1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$

Esta soma há-de naturalmente ser igual a $P$ :

$P=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$

donde

$A=P\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$

Regressando ao exemplo, o reembolso é feito em $n=60$ semestres, sendo a taxa $i=7/2\%$ e $P=100\;000$ , pelo que

$A=100\;000\dfrac{0,035(1,035)^{60}}{(1,035)^{60}-1}=4009$ unidades monetárias.

O valor do empréstimo ao fim de $20$ semestres é

$100\;000\times(1+0,035)^{20}=198\;979$ unidades monetárias

As rendas pagas ao fim de $20$ semestres correspondem ao valor futuro $F$ da série de pagamentos semestrais $A$ , no fim do período $20$ . Como vimos na formação de capital

$A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}$

$F=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$

ou seja, neste caso

$F=4009\times\dfrac{1,035^{20}-1}{0,035}=113\;373$ unidades monetárias.

A dívida que falta pagar ao fim de 10 anos é então

$198\;979-113\;373=85\;605$ unidades monetárias.

6 – Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

Traduzo e adapto esta minha entrada em inglês onde apresentei um problema transcrito de um post do Professor Gowers, bem como dois dos meus comentários.

O Professor Gowers usa um método contínuo para modelar o seguinte problema discreto apresentado num seu post recente.

” Suponha para simplificar que a taxa de juro de um empréstimo contra hipoteca é de 5% e que essa taxa permanece constante. Se o empréstimo for de £50000 e pagar £500 por mês, indique qual o tempo aproximado que demoro a liquidá-lo? “

Texto original:

” Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage? “

Eis os meus dois comentários:

1. “Apresento uma proposta de resolução directa do seu problema discreto de pagamento de um empréstimo contra hipoteca. Esta resolução, mesmo que esteja correcta, claro que é de longe muito menos instructiva que o seu argumento!
Em geral, dado o principal $P$ , temos de determinar o valor dos pagamentos constantes $A$ durante $n$ períodos mensais. O valor de $A$ no período $k$ é equivalente ao valor actual $A/\left( 1+i\right) ^{k}$ unidades monetárias, em que $i$ é a taxa de juro em cada período de capitalização. Somando em $k$ , desde 1 a $n$ , obtemos a soma

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}$

Ora agora temos de somar uma progressão geométrica de razão $r=1/(1+i)$ e primeiro termo $u_{1}=A/\left( 1+i\right)$

$\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P$

$A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}$

No problema dado, os pagamentos ocorrerão durante $n$ meses, com $i=5/12\%=\dfrac{5}{1200}$ e $P=50\,000$ . Assim

$A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500$

$\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1$

Resolvendo em ordem a $n$ , obtemos

$n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129,63$ meses ( $10,802$ anos)

e, como provou

$20\ln 2\approx 13,863>10,802.$ “

2. “Permita-me que acrescente só mais uma interpretação da minha parte: a taxa de juro contínua efectiva pode obter-se da taxa nominal de 5%, composta $m$ vezes ao ano como segue:

$\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1$ $=e^{0,05}-1\approx 5,127\%$

(que a sua fórmula $e^{\alpha }=1,05$ aproxima para $\alpha =0,05$ ), e em geral, no caso de uma taxa de juro nominal $r$ , como

$i_{E\;(m\rightarrow \infty )}=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m}-1$ $=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.$

Do ponto de vista de um problema puramente matemático o modelo que discute é muito mais interessante e de maior valor.”

7 – Anuidade, amortização e juros

Uma empresa negociou um contrato de locação financeira no valor de $180000$ euros e anuidade constante durante um prazo de $10$ anos, à taxa de juro anual $r=8$ %.

Determine:

A anuidade (ou renda, anual neste caso) $R$ contratada.
Em função do período anual $1\leq n\leq 10$

a) o valor da amortização $A_n$ ;
b) o montante dos juros $J_n$ .

(Adaptado e simplificado de SNC e as PME — Casos Práticos, p.165-167, de José Farinha e Domingos Cascais, Texto Editores, 2010. )

Sugestão: veja e escolha na categoria “Cálculo Financeiro” a situação que mais se aproxima deste caso.

8 – Um problema de juros compostos de uma série não uniforme da Universidade de Purdue

Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.

« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de $i\%$ , composta anualmente, de maneira a poder levantar-se $1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots$ dólares no final do ano $1,2,3,\ldots$ , perpetuamente? (Para $i=10$ , a resposta é 2310 dólares.) »

Transcrição do original

“ What is the smallest amount that may be invested at interest rate $i\%$ , compounded annually, in order that we may withdraw $1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots$ dollars at the end of the 1st, 2nd, 3rd, … year, in perpetuity? (For $i=10$ , the answer is 2310 dollars.) “

Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}$ .

Proposição: se $-1<x<1$ , a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}$ converge para $\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}$ .

Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para $|x|<1$ :

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\dfrac{x}{1-x}\qquad (1)$

e diferenciemos ambos os membros $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\left( 1-x\right) ^{-2}$ . Agora multipliquemo-los por $x$ : $x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}=x\left( 1-x\right) ^{-2}$ . Diferenciando novamente, obtemos $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}=\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) ^{-3}$ . Multipliquemos ambos os membros por $x$ e completaremos a demonstração da Proposição:

$x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}=\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}\qquad (2)$

Pondo $x=1/c$ obtemos na forma alternativa, válida para $|c|>1$ ,

$x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^2}{c^n}$ $=\dfrac{c(c+1)}{(c-1)^{3}}\qquad (3)$

Designemos por $P$ o valor actual total da série de levantamentos $1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots$ dólares, no fim do ano $1, 2, 3,\ldots$ . O levantamento $n^{2}$ no final do ano $n$ contribui para $P$ no valor de $n^{2}/(1+i/100)^{n}$ , em que $i$ é a taxa de juro (em percentagem) composta anualmente. Sumando todas as contribuições desde $n=1$ a $\infty$ dá $P$ (no princípio do ano 1), que é o montante $A$ mais pequeno que é necessário investir-se para equilibrar ( $A-P=0$ ) os levantamentos como enunciado no problema: $P=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}/\left( 1+i/100\right) ^{n}$ .

Usando $(3)$ com $c=1+i/100>1$ obtemos o valor actual $P(i)=A(i)$ , em dólares, em função da taxa de juro $i$ em percentagem:

$A(i)=P(i)=\dfrac{\left( 1+i/100\right) (2+i/100)}{(i/100)^{3}}\qquad (4)$

Para $i=10$ , confirmamos que $A(10)=P(10)=2310$ .

Cópia do Texto original

* * *

Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cáalculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.

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Sobre Américo Tavares

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