Equações cúbicas e quárticas

Para comodidade de leitura, reuno aqui as duas entradas publicadas em Maio sobre a resolução destas equações:

 Equação cúbica

A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição x=t+h:

a\left( t+h\right) ^{3}+b\left( t+h\right) ^{2}+c\left( t+h\right) +d=0

at^{3}+\left( b+3ah\right) t^{2}+\left( c+2bh+3ah^{2}\right) t+d+ch+ah^{3}+bh^{2}=0

Dividindo por a e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de t, obtemos — se escolhermos h=-\dfrac{b}{3a}

x=t-\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 2\right)

– uma nova equação cúbica (em t) à qual falta o termo do 2.º grau:

t^{3}+pt+q=0\qquad \left( 3\right)

cujos coeficientes são:

p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}\qquad \left( 4\right)

e

q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}\qquad\left( 5\right)

Se exprimirmos a variável t na soma de duas outras

t=u+v\qquad \left( 6\right)

a equação \left( 3\right) transforma-se em

\left( u^{3}+v^{3}+q\right) +\left( 3uv+p\right) \left( u+v\right) =0\qquad (7)

Uma solução de (7) é a dada pelo sistema em u e v

\left\{ \begin{array}{c}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27}\end{array}\right.\qquad \left( 8\right)

Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números u^{3} e v^{3} dos quais se sabe a soma S=u^{3}+v^{3}=-q e o produto P=u^{3}v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27}. Como é bem sabido esses números são as duas soluções Y_{+} e Y_{-} da equação auxiliar do 2.º grau:

Y^{2}-SY+P=0\qquad \left( 9\right)

De facto

\left\{\begin{array}{c}Y_{+}+Y_{-}=S\\Y_{+}Y_{-}=P\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{+}+P/Y_{+}=S\\Y_{-}=P/Y_{+}\end{array}\right.

\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{+}^{2}-SY_{+}+P=0\\Y_{-}=P/Y_{+}\end{array}\right.

e

\left\{ \begin{array}{c}Y_{+}+Y_{-}=S\\Y_{+}Y_{-}=P\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{-}+P/Y_{-}=S\\Y_{+}=P/Y_{-}\end{array}\right.

\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{-}^{2}-SY_{-}+P=0\\Y_{+}=P/Y_{-}\end{array}\right.

Resolvendo-a determinamos

Y_{+}=\dfrac{S+\sqrt{S^{2}-4P}}{2}=-\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}=\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}\qquad\left( 10\right)

Y_{-}=\dfrac{S-\sqrt{S^{2}-4P}}{2}=-\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}=\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}\qquad\left( 11\right)

Nesta notação o discriminante \Delta é igual a

\Delta =q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}.

Consideremos, sem perda de generalidade, Y_{+}=u^{3} e Y_{-}=v^{3}. Introduzindo (10) e (11) em (6), obtemos a solução t_{1}=\sqrt[3]{Y_{+}}+\sqrt[3]{Y_{-}}:

t_{1}=\left( \dfrac{-q+\sqrt{\Delta }}{2}\right) ^{1/3}+\left(\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}\right) ^{1/3}

ou seja

t_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}\qquad (12)

e uma solução da equação inicial

x_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}-\dfrac{b}{3a}\quad \left( 13\right)

Conhecida a solução t_{1}, podemos determinar as duas restantes t_{2} e t_{3} decompondo o polinómio do primeiro membro de (3) num produto de factores lineares:

\left( t-t_{1}\right) \left( t-t_{2}\right) \left( t-t_{3}\right) =t^{3}+pt+q

ou

t^{3}-\left( t_{1}+t_{2}+t_{3}\right) t^{2}+\left( t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{3}\right) t-t_{1}t_{2}t_{3}=t^{3}+pt+q

Os dois polinómios são equivantes se tiverem iguais coeficientes homólogos:

\left\{ \begin{array}{c}t_{2}+t_{3}=-t_{1}\\t_{2}t_{3}=-\dfrac{q}{t_{1}}\end{array}\right. \qquad \left( 14\right)

Novamente temos de determinar dois números t_{2} e t_{3} dos quais se conhece a soma (-t_{1}) e o produto (-\dfrac{q}{t_{1}}). Para esse fim formamos a equação do 2.º grau:

Z^{2}+t_{1}Z-\dfrac{q}{t_{1}}=0\qquad \left( 15\right)

que resolvida dá as soluções

t_{2}=Z_{+}=-\dfrac{t_{1}}{2}+\sqrt{\dfrac{t_{1}^{2}}{4}+\dfrac{q}{t_{1}}}\qquad \left( 16\right)

t_{3}=Z_{-}=-\dfrac{t_{1}}{2}-\sqrt{\dfrac{t_{1}^{2}}{4}+\dfrac{q}{t_{1}}}\qquad \left( 17\right)

As três soluções da equação em x são então:

x_{k}=t_{k}-\dfrac{b}{3a}\qquad k=1,2,3\qquad \left( 18\right)

No caso do discriminante ser negativo, p<0, convertemos os complexos conjugados Y_{+} e Y_{-} à forma trigonométrica

Y_{+}=\dfrac{-q+i\sqrt{-\Delta }}{2}=\left\vert Y_{+}\right\vert \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)

Y_{-}=\dfrac{-q-i\sqrt{-\Delta }}{2}=\left\vert Y_{-}\right\vert \left(\cos \theta -i\sin \theta \right)

Os módulos são iguais:

\left\vert Y_{+}\right\vert =\left\vert Y_{-}\right\vert =\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}-\Delta }=\sqrt{-\dfrac{p^{3}}{27}}

e os argumentos são simétricos, sendo o de Y_{+}:

\theta =\arccos \left( \dfrac{-q/2}{\left\vert Y_{+}\right\vert }\right) =\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right)

As três raízes cúbicas de Y_{+} e Y_{-} são (k=0,1,2)

\left\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{Y_{+}}=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\left(\cos \left( \dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) +i\sin\left(\dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) \right)\\\\\sqrt[3]{Y_{-}}=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\left( \cos \left( \dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) -i\sin \left(\dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) \right) \end{array}\right.\qquad \left( 19\right)

Obtemos, respectivamente, para k=0, 1 e 2 as três soluções da equação \left( 3\right) :

t_{1}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) \right) \qquad \left( 20\right)

t_{2}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{2\pi }{3}\right) \qquad \left( 21\right)

t_{3}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) \qquad \left( 22\right)

e as da equação original \left( 1\right) :

x_{1}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) \right) -\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 23\right)

x_{2}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{2\pi }{3}\right) -\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 24\right)

x_{3}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) -\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 25\right)

Exemplos

1. Determine as soluções da equação

x^{3}-6x^{2}+11x-6=0

\blacktriangleright\quad Os coeficientes são:

a=1,b=-6,c=11,d=-6

Pondo

x=t-\dfrac{b}{3a}=t-\dfrac{-6}{3}=t+2

a equação transforma-se em

t^{3}-t=0

uma vez que os seus coeficientes são

p=11-\dfrac{\left( -6\right) ^{2}}{3}=-1

e

q=\dfrac{2\left( -6\right) ^{3}}{27}-\dfrac{\left( -6\right) 11}{3}-6=0

As suas soluções são t=0,1,-1, a que correspondem as da equação na forma canónica x=2,3,1.\quad\blacktriangleleft

2. Resolva

2x^{3}-22x-12=0

\blacktriangleright\quad Agora temos

a=2,b=0,c=-22,d=-12

Como era de esperar a substituição é

x=t-\dfrac{b}{3a}=t

e os coeficientes da equação em t

t^{3}-11t-6=0

são simplesmente os da equação inicial divididos por 2:

p=\dfrac{c}{a}=-11

e

q=\dfrac{d}{a}=-6

O discriminante é negativo

\Delta =\dfrac{6^{2}}{4}-\dfrac{11^{3}}{27}=-\dfrac{1088}{27}

Assim, como h=-\dfrac{b}{3a}=0:

t_{1}=2\sqrt{\dfrac{11}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{6}{2}\sqrt{\dfrac{27}{11^{3}}}\right) \right) =3,561\,6=x_{1}

t_{2}=2\sqrt{\dfrac{11}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{6}{2}\sqrt{\dfrac{27}{11^{3}}}\right) +\dfrac{2\pi }{3}\right) =-3,0=x_{2}

t_{3}=2\sqrt{\dfrac{11}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{6}{2}\sqrt{\dfrac{27}{11^{3}}}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) =-0,561\,55=x_{3}

Tentando diminuir os erros de cálculo, reparemos que o inteiro -3 é uma solução. Se recalcularmos as outras duas, obtemos as soluções exactas:

-\dfrac{-3}{2}+\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{-6}{-3}}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{17}

e

-\dfrac{-3}{2}-\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{-6}{-3}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{17}\quad\blacktriangleleft

3. Resolva a equação

x-3x^{2}+x^{3}+5=0

\blacktriangleright\quad Os coeficientes são:

a=1,b=-3,c=1,d=5

Fazendo a substituição

x=t+1

obtém-se a equação

t^{3}-2t-4=0

em que

p=\dfrac{1}{1}-\dfrac{\left( -3\right) ^{2}}{3}=-2

e

q=\dfrac{2\left( -3\right) ^{3}}{27}-\dfrac{\left( -3\right) }{3}+\dfrac{5}{1}=4

Uma solução da equação em t é dada pela fórmula resolvente

t_{1}=\left( -\dfrac{4}{2}+\sqrt{\dfrac{4^{2}}{4}+\dfrac{\left( -2\right) ^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{4}{2}-\sqrt{\dfrac{4^{2}}{4}+\dfrac{\left( -2\right) ^{3}}{27}}\right) ^{1/3}=-2

a que corresponde a solução da equação em x:

x_{1}=-2-\dfrac{-3}{3}=-2+1=-1

As restantes soluções da equação em t são

t_{2}=-\dfrac{-2}{2}+\sqrt{\dfrac{4}{4}+\dfrac{4}{-2}}=1+\sqrt{-1}=1+i

t_{3}=-\dfrac{-2}{2}-\sqrt{\dfrac{4}{4}+\dfrac{4}{-2}}=1-\sqrt{-1}=1-i

e, portanto, as da equação em x são

x_{2}=1+i+1=2+i

x_{3}=1-i+1=2-i\quad\blacktriangleleft

Referência

Compêndio de Álgebra do 7.º ano do Liceu, 1963, de J. Sebastião e Silva e J. da Silva Paulo, págs. 217-218.

 Equação quártica

A forma canónica da equação do 4.º grau ou quártica é:

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

À semelhança do que foi feito para a equação cúbica, faz-se a substituição x=y+h:

a\left( y+h\right) ^{4}+b\left( y+h\right) ^{3}+c\left( y+h\right) ^{2}+d\left( y+h\right) +e=0

Ordenando pelas potências decrescentes de y fica:

ay^{4}+\left( b+4ah\right) y^{3}+\left( c+3bh+6ah^{2}\right) y^{2}+

+\left( d+2ch+4ah^{3}+3bh^{2}\right) y+ah^{4}+bh^{3}+ch^{2}+dh+e=0

Se dividirmos por a e anularmos o termo em y^{3}, para o devemos fazer

h=-\dfrac{b}{4a}\qquad \left( 2\right)

obtemos a equação reduzida

y^{4}+Ay^{2}+By+C=0\qquad \left( 3\right)

sendo os seus coeficientes dados por

A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}\qquad \left( 4\right)

B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}\qquad \left( 5\right)

e

C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}\qquad \left( 6\right)

Um dos métodos de resolução é o que usa uma equação cúbica auxiliar e que descrevo de seguida. O outro é a factorização do 1.º membro da equação em dois factores do segundo grau.

Se somarmos e subtrairmos 2sy^{2}+s^{2} ao primeiro membro de \left( 3\right) , por razões que se tornarão evidentes mais abaixo, obtemos a equação equivalente:

\underset{\left( y^{2}+s\right) ^{2}}{\underbrace{y^{4}+2sy^{2}+s^{2}}}-\left[ \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C\right] =0\qquad \left( 7\right)

Desenvolvemos a parcela \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C em factores lineares:

\left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=\left( 2s-A\right) \left( y-y_{+}\right) \left( y-y_{-}\right)

em que y_{+} e y_{-} são as soluções da equação do 2.º grau

\left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=0

y_{+}=\dfrac{B+\sqrt{B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) }}{2\left( 2s-A\right) }

y_{-}=\dfrac{B-\sqrt{B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) }}{2\left( 2s-A\right) }

Assim se o discriminante

B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) =-8s^{3}+4As^{2}+8Cs-4AC+B^{2}

for nulo, o que significa que s verifica a equação cúbica:

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0\qquad \left( 8\right)

então

y_{+}=y_{-}=\dfrac{B}{2\left( 2s-A\right) }

e

\left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=\left( 2s-A\right) \left( y-\dfrac{B}{2\left( 2s-A\right) }\right) ^{2}

pelo que a equação \left( 7\right) se transforma em

\left( y^{2}+s\right) ^{2}-\left( \sqrt{2s-A}y-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) ^{2}=0

Factorizando agora o primeiro membro ficamos com a equação:

\left( y^{2}+s+\sqrt{2s-A}y-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) \left( y^{2}+s-\sqrt{2s-A}y+\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0

cujas soluções são imediatas: as que anulam o primeiro factor verificam a equação do 2.º grau em U:

U^{2}+\sqrt{2s-A}U+\left( s-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0\qquad \left( 9\right)

e as que anulam o segundo verificam a equação do segundo grau em V

V^{2}-\sqrt{2s-A}V+\left( s+\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0\qquad \left( 10\right)

As soluções da equação reduzida \left( 3\right) são as duas de \left( 9\right) :

y_{1}=U_{+}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 11\right)

y_{2}=U_{-}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 12\right)

e as duas de \left( 10\right) :

y_{3}=V_{+}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 13\right)

y_{4}=V_{-}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 14\right)

em que s é uma solução da equação cúbica auxiliar \left( 8\right) que se repete

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0

As soluções da equação do 4.º grau inicial \left( 1\right) são pois:

x_{k}=y_{k}-\dfrac{b}{4a}\qquad k=1,2,3,4\qquad \left( 15\right)

Exemplo: Resolva

x^{4}+2x^{3}+3x^{2}-2x-1=0

\blacktriangleright Vemos que

a=1, b=2, c=3, d=-2 e e=-1

Calculamos os coeficientes da equação reduzida

y^{4}+Ay^{2}+By+C=0

obtida pela substituição x=y-\dfrac{b}{4a}=y-\dfrac{1}{2}:

A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}=\dfrac{3}{2}

B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}=-4

e

C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}=\dfrac{9}{16}

A equação cúbica auxiliar é, pois:

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0

8s^{3}-6s^{2}-\dfrac{9}{2}s-\dfrac{101}{8}=0

Determinação de uma solução real da equação cúbica: os seus coeficientes são

a=8,b=-6,c=-\dfrac{9}{2},d=-\dfrac{101}{8}

Nota: estas letras a, b, c, e d, embora iguais às utilizadas acima para designar os coeficientes da equação quadrática, aqui designam os coeficientes da cúbica.

Pondo

s=t-\dfrac{b}{3a}=t+\dfrac{1}{4}

a equação cúbica transforma-se em

t^{3}-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{7}{4}=0

visto que

p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}=-\dfrac{3}{4}

e

q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}=-\dfrac{7}{4}

Uma solução da equação cúbica é:

s_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}-\dfrac{b}{3a}

s_{1}\approx 1,6608

As soluções da equação são então:

x_1=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{1}\approx -1,1748+1,6393i

x_{2}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{2}\approx -1,174\,8-1.6393i

x_{3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{3}\approx 0,70062

x_{4}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{4}\approx -0,35095 \blacktriangleleft

Referências

WolframMathWorld, Quartic Equation

Ask Dr. Math, What are the general solutions to cubic and quartic polynomial equations?

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Equações, Matemática, Teorema / Teoria com as etiquetas , . ligação permanente.

5 respostas a Equações cúbicas e quárticas

  1. De facto.. isto ficaria muito bem no meu site calculadora.

    • Pode utilizar à vontade!

      A questão será de tentar diminuir os erros de cálculo numérico. Há alguns anos li um artigo online que comparava diferentes métodos e diferentes fórmulas.

      Obrigado pelo seu comentário.

  2. Descubra que a matematica é facil so é dificil quando nao exercitas.

  3. Daniel Carneiro diz:

    Já sabia a de tartaglia para terceiro grau
    a alguns meses e agora to aprendendo a de quarto grau ta daora !

  4. Marcos Vinícius Corrêa diz:

    Segunda Solução :
    Cubica : 2. Resolva $2x^3-22x-12=0$
    $x^3-11x=6$
    $x^4-11x^2=6x$, adiciona-se ambos os lados $9x^2+1$
    $x^4-2x^2+1=9x^2-6x+1 \ \implies \ (x^2-1)^2-(3x+1)^2=0=(x^2+3x)(x^2-3x-2)$

    Um grande abraço !

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