Problemas Teoremas

Julho 28, 2010

Equações cúbicas e quárticas

Filed under: Equações,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 3:16 pm
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Para comodidade de leitura, reuno aqui as duas entradas publicadas em Maio sobre a resolução destas equações:

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Julho 22, 2010

Propriedade dos valores próprios das matrizes hermitianas

Filed under: Álgebra linear,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 12:16 pm
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Seja A uma matriz de entrada (ou elemento) genérico a_{ij}. Admita que a_{ij}\in\mathbb{C}. Relembremos que a conjugada de A, designada por \overline{A} é a que tem como elemento genérico \overline{a_{ij}}, o conjugado de a_{ij}; a transconjugada de A é a transposta de \overline{A}, isto é, a matriz \left( \overline{A}\right) ^{T}. Uma matriz A diz-se hermitiana quando coincide com a sua transconjugada: \left( \overline{A}\right) ^{T}=A, logo \overline{a_{ji}}=a_{ij}. Claro que os elementos a_{11},a_{22},\ldots , a_{ii},\ldots ,a_{nn} da diagonal principal de uma matriz hermitiana são todos reais. As raízes \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} da equação característica \det \left( A-\lambda I\right) =0, em que I é a matriz identidade, recebem o nome de valores próprios da matriz quadrada A (de n linhas e n colunas).
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Se a matriz A for de 2.ª ordem, será da forma

A=\begin{bmatrix}a_{11} & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}\end{bmatrix}

sendo a equação característica dada por:

\det \begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}-\lambda \end{bmatrix}=0

que é equivalente à equação polinomial (quadrática, neste caso):

\lambda ^{2}-\left( a_{11}+a_{22}\right) \lambda +a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}=0

Os valores próprios \lambda _{1},\lambda _{2}\in\mathbb{R}:

\lambda _{1,2}=\dfrac{1}{2}\left( a_{22}+a_{11}\pm \sqrt{\Delta }\right)

uma vez que o determinante da equação característica é nulo ou positivo:

\Delta =\left( a_{22}+a_{11}\right) ^{2}-4\left( a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\right) =\left( a_{11}-a_{22}\right) ^{2}+4\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\geq 0

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Esta é uma propriedade das matrizes hermitianas de qualquer ordem: se A for uma matriz hermitiana de ordem n, os seus valores próprios \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} serão todos reais.

Pode encontrar uma demonstração na entrada Hermitian Matrices de MathPages.

Editado em 22 e 23.07.2010: alterado título e feitas ligeiras alterações ao texto.

Julho 18, 2010

Carnaval da Matemática em língua portuguesa

Filed under: Matemática,Notícia — Américo Tavares @ 8:55 pm
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Iniciou-se, com a publicação de matematica feliz – carnaval da Matemática – número um, em 15 deste mês, no blogue MT,  do Professor Jaime Carvalho e Silva, o Carnaval da Matemática, organizado pelo autor. Como anunciado nesse blogue, a periocidade será mensal, devendo os artigos ser submetidos até ao dia 14, para publicação  no dia 15.

A minha última entrada, Problema 5 de IMO 2010 resolvido colaborativamente no projecto Mini-Polymath2, foi listada na primeira edição desse Matemática Feliz – Carnaval  da Matemática.

Há muito que existe a versão inglesa deste Carnaval. A 65.ª edição foi publicada pelo blogue  Maxwell’s Demon. Eu participei, embora apenas uma só vez, com Three gamma function identities,  em Carnival of Mathematics #56, organizado por Rod Carvalho,  em Reasonable Deviations.

E é esta a minha contribuição para divulgar esta iniciativa, em língua portuguesa.

14.08.10: O  matemática-feliz – carnaval da Matemática – número dois  já foi publicado. O número de textos  aceites aumentou de 4 para 6. Lista o meu artigo Constante de Apéry. 

Julho 14, 2010

Problema 5 de IMO 2010 resolvido colaborativamente no projecto Mini-Polymath2

Filed under: Matemática,Olimpíadas,Problemas — Américo Tavares @ 10:22 pm
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Decorreu recentemente no The polymath blog e sob a organização de Terence Tao, a resolução conjunta do Problema 5 das Olimpíadas Internacionais de Matemática deste ano. Em vez do Problema 6, tradicionalmente o mais difícil, Terence Tao escolheu este por considerá-lo um pouco mais estimulante e interessante. A solução encontrada foi publicada no wiki Mini-Polymath2 criado para o efeito. Algum eventual leitor meu o melhor que fará será ler a discussão havida no The polymath blog, para ver como as ideias foram surgindo, ou ir directamente para a solução exposta no wiki.
Claro que o idioma em que tudo está escrito é o inglês. Mas o enunciado existe também em português no IMO 2010.

« Problema 5 .  Em cada uma de seis caixas B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6} há inicialmente só uma moeda. Dois tipos de operações são possíveis:

Tipo 1: Escolher uma caixa não vazia B_{j}, com 1\leq j\leq 5. Retirar uma moeda de B_{j} e adicionar duas moedas a B_{j+1}.

Tipo 2: Escolher uma caixa não vazia B_{k}, com 1\leq k\leq 4. Retirar uma moeda de B_{k} e trocar os conteúdos das caixas (possivelmente vazias) B_{k+1} e B_{k+2}.

Determine se existe uma sucessão finita destas operações que deixa as caixas B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5} vazias e a caixa B_{6} com exactamente 2010^{2010^{2010}} moedas. (Observe que a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}.) »

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Vou adaptar e dar uma interpretação pessoal da solução que está descrita no wiki. Quaisquer erros são da minha
responsabilidade exclusiva. Digo desde já que a dificuldade deste problema me impediria de resolvê-lo durante uma prova como esta.

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