A forma canónica da equação do 4.º grau ou quártica é:
À semelhança do que foi feito para a equação cúbica, faz-se a substituição 
Ordenando pelas potências decrescentes de 
Se dividirmos por 
obtemos a equação reduzida
sendo os seus coeficientes dados por
e
Um dos métodos de resolução é o que usa uma equação cúbica auxiliar e que descrevo de seguida. O outro — que nem sempre funciona — é a factorização do 1.º membro da equação em dois factores do segundo grau.
Se somarmos e subtrairmos 
![\underset{\left( y^{2}+s\right) ^{2}}{\underbrace{y^{4}+2sy^{2}+s^{2}}}-\left[ \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C\right] =0\qquad \left( 7\right)](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cunderset%7B%5Cleft%28+y%5E%7B2%7D%2Bs%5Cright%29+%5E%7B2%7D%7D%7B%5Cunderbrace%7By%5E%7B4%7D%2B2sy%5E%7B2%7D%2Bs%5E%7B2%7D%7D%7D-%5Cleft%5B+%5Cleft%28+2s-A%5Cright%29+y%5E%7B2%7D-By%2Bs%5E%7B2%7D-C%5Cright%5D+%3D0%5Cqquad+%5Cleft%28+7%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\underset{\left( y^{2}+s\right) ^{2}}{\underbrace{y^{4}+2sy^{2}+s^{2}}}-\left[ \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C\right] =0\qquad \left( 7\right)")
Desenvolvemos a parcela 
em que 
Assim se o discriminante
for nulo, o que significa que 
então
e
pelo que a equação 
Factorizando agora o primeiro membro ficamos com a equação:
cujas soluções são imediatas: as que anulam o primeiro factor verificam a equação do 2.º grau em 
e as que anulam o segundo verificam a equação do segundo grau em
As soluções da equação reduzida 
e as duas de 
em que 
As soluções da equação do 4.º grau inicial 
Exemplo: Resolva
Calculamos os coeficientes da equação reduzida
obtida pela substituição 
e
A equação cúbica auxiliar é, pois:
Determinação de uma solução real da equação cúbica: os seus coeficientes são
Nota: estas letras 
Pondo
a equação cúbica transforma-se em
visto que
e
Uma solução da equação cúbica é:
As soluções da equação são então:
—
Referências
WolframMathWorld, Quartic Equation
Ask Dr. Math, What are the general solutions to cubic and quartic polynomial equations?
Mais uma vez, com paciência, dedicação e destreza, você apresentou o assunto sobre as equações quárticas de forma brilhante. Parabéns!
Neste link, eu apresento um caso particular da equação quártica que serve como assunto motivador para o caso geral.
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/06/um-caso-particular-da-equacao-quartica.html
muito legal, gostei, apresentação clara
Texto relevante, com explicação muito clara e abordada de maneira singular. Parabéns pelo conteúdo nobre publicado neste website.
Obrigado!
não entendir nada
Boa tarde! Gostei muito do post de resolução de equações do 4º grau, mas fiquei com uma dúvida. As expressões para o cálculo das raízes x1, x2, x3 e x4 somente são aplicáveis se s1 for um número real?
Desde já agradeço,
JS.
Obrigado!
Qualquer solução
real ou complexa serve, mas os cálculos são muito mais fáceis se escolhermos uma solução real. E essa escolha é sempre possível porque uma equação cúbica com coeficientes reais tem uma ou três soluções reais.
A resposta veio mais rápido do que eu imaginava. Muito obrigado!
Agora, perdoa-me se eu estiver falando algum absurdo. Se posso escolher qualquer uma das soluções da equação cúbica auxiliar para econtrar as solução da equação quártica, não haveria três conjuntos de soluções diferentes para a equação quártica?
Desde já agradeço,
JS.
A sua questão é bastante pertinente e não sei dar-lhe uma resposta cabal. É possível que no âmbito da Teoria de Galois a haja, mas não tenho conhecimentos para o afirmar. O meu primeiro comentário resultou de ter visto na versão inglesa da Wikipedia a confirmação de que se poderia escolher qualquer das soluções da cúbica auxiliar (nota: não verifiquei a equivalência da equação cúbica dessa entrada — “nested depressed cubic” — com a que apresento acima). A este respeito o forum Ask Dr. Math refere o mesmo. Quanto a mim, em termos numéricos, sempre escolhi a solução real da cúbica, como no exemplo que apresento.
A minha interpretação é que como as três soluções de uma equação cúbica reduzida se podem exprimir numa única fórmula (a de Cardano), com duas parcelas que estão ligadas por uma condição envolvendo os coeficientes, tudo se conjugará para que essa condição mais a inerente à da equação quártica propriamente dita, acabe por reduzir o número de soluções independentes da quártica a quatro, qualquer que seja a escolha feita. Mas não conheço uma demonstração do que estou a afirmar. Apenas tenho uma coisa por certa: o número de soluções da quártica é quatro.