Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

A forma canónica da equação do 4.º grau ou quártica é:

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

À semelhança do que foi feito para a equação cúbica, faz-se a substituição x=y+h:

a\left( y+h\right) ^{4}+b\left( y+h\right) ^{3}+c\left( y+h\right) ^{2}+d\left( y+h\right) +e=0

Ordenando pelas potências decrescentes de y fica:

\begin{aligned}&ay^{4}+\left( b+4ah\right) y^{3}+\left( c+3bh+6ah^{2}\right) y^{2}\\&+\left( d+2ch+4ah^{3}+3bh^{2}\right) y+ah^{4}+bh^{3}+ch^{2}+dh+e=0\end{aligned}

Se dividirmos por a e  anularmos o termo em y^{3}, para o que devemos fazer

h=-\dfrac{b}{4a}\qquad \left( 2\right)

obtemos a equação reduzida

y^{4}+Ay^{2}+By+C=0\qquad \left( 3\right)

sendo os seus coeficientes dados por

A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}\qquad \left( 4\right)

B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}\qquad \left( 5\right)

e

C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}\qquad \left( 6\right)

Um dos métodos de resolução é o que usa uma equação cúbica auxiliar e que descrevo de seguida. O outro — que nem sempre funciona — é a factorização do 1.º membro da equação em dois factores do segundo grau.

Se somarmos e subtrairmos 2sy^{2}+s^{2} ao primeiro membro de \left( 3\right) , por razões que se tornarão evidentes mais abaixo, obtemos a equação equivalente:

    \underset{\left( y^{2}+s\right) ^{2}}{\underbrace{y^{4}+2sy^{2}+s^{2}}}-\left[ \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C\right] =0\qquad \left( 7\right)

Desenvolvemos a parcela \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C em factores lineares:

\left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=\left( 2s-A\right) \left( y-y_{+}\right) \left( y-y_{-}\right)

em que y_{+} e y_{-} são as soluções da equação do 2.º grau

\left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=0

y_{+}=\dfrac{B+\sqrt{B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) }}{2\left( 2s-A\right) }

y_{-}=\dfrac{B-\sqrt{B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) }}{2\left( 2s-A\right) }

Assim se o discriminante

B^{2}-4\left( 2s-A\right) \left( s^{2}-C\right) =-8s^{3}+4As^{2}+8Cs-4AC+B^{2}

for nulo, o que significa que s verifica a equação cúbica:

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0\qquad \left( 8\right)

então

y_{+}=y_{-}=\dfrac{B}{2\left( 2s-A\right) }

e

    \left( 2s-A\right) y^{2}-By+s^{2}-C=\left( 2s-A\right) \left( y-\dfrac{B}{2\left( 2s-A\right) }\right) ^{2}

pelo que a equação \left( 7\right) se transforma em

\left( y^{2}+s\right) ^{2}-\left( \sqrt{2s-A}y-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) ^{2}=0

Factorizando agora o primeiro membro ficamos com a equação:

\left( y^{2}+s+\sqrt{2s-A}y-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) \left( y^{2}+s-\sqrt{2s-A}y+\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0

cujas soluções são imediatas: as que anulam o primeiro factor verificam a equação do 2.º grau em U:

U^{2}+\sqrt{2s-A}U+\left( s-\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0\qquad \left( 9\right)

e as que anulam o segundo verificam a equação do segundo grau em V

V^{2}-\sqrt{2s-A}V+\left( s+\dfrac{B}{2\sqrt{2s-A}}\right) =0\qquad \left( 10\right)

As soluções da equação reduzida \left( 3\right) são as duas de \left( 9\right) :

y_{1}=U_{+}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 11\right)

y_{2}=U_{-}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 12\right)

e as duas de \left( 10\right) :

y_{3}=V_{+}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 13\right)

y_{4}=V_{-}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s-A}}}\qquad \left( 14\right)

em que s é uma solução da equação cúbica auxiliar \left( 8\right) que se repete

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0

As soluções da equação do 4.º grau inicial \left( 1\right) são pois:

x_{k}=y_{k}-\dfrac{b}{4a}\qquad k=1,2,3,4\qquad \left( 15\right)

Exemplo: Resolva

x^{4}+2x^{3}+3x^{2}-2x-1=0

\blacktriangleright Vemos que

a=1, b=2, c=3, d=-2 e e=-1

Calculamos os coeficientes da equação reduzida

y^{4}+Ay^{2}+By+C=0

obtida pela substituição x=y-\dfrac{b}{4a}=y-\dfrac{1}{2}:

A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}=\dfrac{3}{2}

B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}=-4

e

C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}=\dfrac{9}{16}

A equação cúbica auxiliar é, pois:

8s^{3}-4As^{2}-8Cs+\left( 4AC-B^{2}\right) =0

8s^{3}-6s^{2}-\dfrac{9}{2}s-\dfrac{101}{8}=0

Determinação de uma solução real da equação cúbica: os seus coeficientes são

a=8,b=-6,c=-\dfrac{9}{2},d=-\dfrac{101}{8}

Nota: estas letras a, b, c, e d, embora iguais às utilizadas acima para designar os coeficientes da equação quártica, aqui designam os coeficientes da cúbica.

Pondo

s=t-\dfrac{b}{3a}=t+\dfrac{1}{4}

a equação cúbica transforma-se em

t^{3}-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{7}{4}=0

visto que

p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}=-\dfrac{3}{4}

e

q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}=-\dfrac{7}{4}

Uma solução da equação cúbica é:

s_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}-\dfrac{b}{3a}

s_{1}\approx 1,6608

As soluções da equação são então:

x_1=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{1}\approx -1,1748+1,6393i

x_{2}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A+\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{2}\approx -1,174\,8-1.6393i

x_{3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}+\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{3}\approx 0,70062

x_{4}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2s_{1}-A}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-2s_{1}-A-\dfrac{2B}{\sqrt{2s_1-A}}}-\dfrac{b}{4a}

x_{4}\approx -0,35095 \blacktriangleleft

Edição de 24.06.2013: corrigida gralha na nota.  Corrigido ainda s_1 nas fórmulas de x_1,x_2,x_3,x_4 do exemplo. Ver comentários de hoje do leitor Pedro.

Referências

WolframMathWorld, Quartic Equation

Ask Dr. Math, What are the general solutions to cubic and quartic polynomial equations?

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Equações, Exercícios Matemáticos, Matemática, Matemáticas Gerais, Teorema / Teoria com as etiquetas , , . ligação permanente.

31 respostas a Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

  1. Mais uma vez, com paciência, dedicação e destreza, você apresentou o assunto sobre as equações quárticas de forma brilhante. Parabéns!

    Neste link, eu apresento um caso particular da equação quártica que serve como assunto motivador para o caso geral.

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/06/um-caso-particular-da-equacao-quartica.html

  2. Flausino Lucas Neves Spindola diz:

    muito legal, gostei, apresentação clara

  3. Christien Guisard Hauegen diz:

    Texto relevante, com explicação muito clara e abordada de maneira singular. Parabéns pelo conteúdo nobre publicado neste website.

  4. silvio diz:

    não entendir nada

  5. Jean Suveges diz:

    Boa tarde! Gostei muito do post de resolução de equações do 4º grau, mas fiquei com uma dúvida. As expressões para o cálculo das raízes x1, x2, x3 e x4 somente são aplicáveis se s1 for um número real?

    Desde já agradeço,

    JS.

    • Obrigado!

      Qualquer solução s_1 real ou complexa serve, mas os cálculos são muito mais fáceis se escolhermos uma solução real. E essa escolha é sempre possível porque uma equação cúbica com coeficientes reais tem uma ou três soluções reais.

    • Jean Suveges diz:

      A resposta veio mais rápido do que eu imaginava. Muito obrigado!

      Agora, perdoa-me se eu estiver falando algum absurdo. Se posso escolher qualquer uma das soluções da equação cúbica auxiliar para econtrar as solução da equação quártica, não haveria três conjuntos de soluções diferentes para a equação quártica?

      Desde já agradeço,

      JS.

    • Pedro diz:

      Caro JS.

      Fiz alguns testes com raízes da equação de 4º grau com outras raízes de 3º grau, em que x’ trocando o resultado chegava em x”’; então penso que não resultem em 3 conjuntos, talvez em casos específicos.

      Pedro

    • Pedro diz:

      Agora estou considerando as possibilidades que levem ao resultado de apenas um conjunto solução. Quando se foi considerado que 8s^3 -4As^2-8Cs+4Ac-B^2=0 , os valores de s que satisfazem o valor de y são os que tornam a equivalência a zero e resultem na equação original de mesma forma. E testando cheguei ao mesmo resultado.

      Pedro.

  6. A sua questão é bastante pertinente e não sei dar-lhe uma resposta cabal. É possível que no âmbito da Teoria de Galois a haja, mas não tenho conhecimentos para o afirmar. O meu primeiro comentário resultou de ter visto na versão inglesa da Wikipedia a confirmação de que se poderia escolher qualquer das soluções da cúbica auxiliar (nota: não verifiquei a equivalência da equação cúbica dessa entrada — “nested depressed cubic” — com a que apresento acima). A este respeito o forum Ask Dr. Math refere o mesmo. Quanto a mim, em termos numéricos, sempre escolhi a solução real da cúbica, como no exemplo que apresento.

    A minha interpretação é que como as três soluções de uma equação cúbica reduzida se podem exprimir numa única fórmula (a de Cardano), com duas parcelas que estão ligadas por uma condição envolvendo os coeficientes, tudo se conjugará para que essa condição mais a inerente à da equação quártica propriamente dita, acabe por reduzir o número de soluções independentes da quártica a quatro, qualquer que seja a escolha feita. Mas não conheço uma demonstração do que estou a afirmar. Apenas tenho uma coisa por certa: o número de soluções da quártica é quatro.

  7. Pedro diz:

    Não consegui chegar em x3=0,70062; cheguei em 0,700598337 que é aproximadamente 0,70059 ou 0,70060

    0,70060 ≠ 0,70062

    o mesmo em x4= -0,35095; achei -0,350916832; que é aproximadamente -0,35091 ou -0,35092

    -0,35092 ≠ -0,35095

    • Obtive no Quartic/Cubic/Quadratic Equation Calculator (http://www.freewebs.com/brianjs/ultimateequationsolver.htm ) as seguintes raízes (numeradas de forma diferente da do post):

      x_1\approx 0.700598336729

      x_2\approx -0.350916831928

      x_3\approx -1.174840752401+1.639280671417i

      x_4\approx -1.174840752401-1.639280671417i

      Os valores do post foram calculados no SWP, que tem uma menor precisão. Não os cheguei a calcular com uma calculadora científica. E o erro na aproximação da raíz da cúbica propaga-se às da quártica.

      Conclusão: os seus valores são mais precisos do que os que calculei.

      PS. O mesmo calculador dá como solução real da equação cúbica (na minha notação s_1) s_1\approx 1.660820082202.

  8. Pedro diz:

    Novamente seu post foi esclarecedor e objetivo, com ele consegui fazer a calculadora de equações de 4º grau, obrigado, possui alguma fórmula resolvente para equações de 5º grau em geral?

    • Não tenho, nem há do tipo das do 1.º, 2.º, 3.º e 4.º grau! Foi demonstrado pelo matemático norueguês Niels Henrik Abel que as soluções da equação geral do 5.º grau (ou quíntica)

      ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

      não se podem exprimir em um número finito de operações algébricas: soma, subtracção, multiplicação, divisão, potênciação e radiciação, embora haja casos particulares da quíntica que são solúveis. É um resultado muito importante do séc. XIX. Pode começar por ver na Wikipédia o Teorema de Abel-Ruffini

      http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Abel-Ruffini

      ou a versão inglesa Abel–Ruffini theorem que é muito mais desenvolvida

      http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem.

      Sendo assim as soluções da equação quíntica ou outras de ordem superior são calculadas por métodos numéricos. Claro que os casos particulares que se saiba terem solução podem ser calculados sem ser só por esses métodos numéricos.

      Veja na Wikipédia a Equação do quinto grau

      http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_do_quinto_grau

      e, em inglês,

      Quintic function http://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function.

      Suponha que tem uma equação quíntica

      ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

      com coeficientes numéricos. Como tem obrigatoriamente de ter pelo menos uma solução real, pode procurá-la por um método numérico, por exemplo de Newton ou da secante. Se x_1 for uma solução encontrada, então divide

      ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f

      por

      x-x_1

      obtendo uma equação quádrupla, que já sabe como resolver.

  9. Pedro diz:

    No exemplo 1: “Nota: estas letras a, b, c e d, embora iguais às utilizadas acima para designar os coeficientes da equação quadrática, aqui designam os coeficientes da cúbica.”

    Não deveria ser: Nota: estas letras a, b, c, e d, embora iguais às utilizadas acima para designar os coeficientes da equação quártica, aqui designam os coeficientes da cúbica.

  10. Pedro diz:

    Caro Américo Tavares, estou pensando em um modo de achar as soluções da equação quíntica a partir de uma raiz, e gostaria de lhe enviar por E-Mail.

    Pedro

  11. Pedro diz:

    Caro Américo Tavares, reparo que em ay^4+\left ( b+4ah \right )y^3 + \left (c+3bh+6ah^2  \right )y^2 +\left ( d + 2ch + 4ah^3 +3bh^2 \right )y + ah^4 + bh^3 + ch^2 + dh + e = 0 , mais precisamente na parte \left (c+3bh+6ah^2  \right )y^2 +\left ( d + 2ch + 4ah^3 +3bh^2 \right )y existem 2 sinais de soma.

    Pedro

  12. Pedro diz:

    Caro Américo Tavares,

    Estou pesquisando um pouco sobre Equações de sexto grau, e tenho alguns resultados interessantes. Se acabar chegando em alguma conclusão útil estaria interessado em visualizá-los? Se sim comente e lhe enviarei um E-Mail.

    Pedro

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