Problema do mês :: Problem of the month #5. (Uma função real contínua ilimitada :: An unbounded continuous real function). Resolução :: Solution

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Problem: Let f(x) be a continuous unbounded real function in the interval I=[0,\infty \lbrack. May the improper integral \displaystyle\int_{I}f(x)\;dx converge?

Solution by Jacques Glorieux:

The graph of this function is made of a series of triangles. For n=1,2,3,\dots, triangle number ‘n‘ has 2n for height and \dfrac{1}{n^3}  for base. The curve so delimited is related to a continuous and unbounded function. The integral of this function is the sum of the areas of the triangles. The area of triangle number n is \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2n}{n^3}\right)=\dfrac{1}{n^2}. The sum of the areas is thus the sum from n=1 to infinity of the terms of the form \dfrac{1}{n^2}. This sum is \dfrac{\pi^2}{6} (a well known result (*) ). Thus the integral converges.

Other solver: fatima

* * *

Problema: Seja f(x) uma função real contínua ilimitada no intervalo I=[0,\infty \lbrack. O integral impróprio \displaystyle\int_{I}f(x)\;dx pode ser convergente?

Resolução de Jacques Glorieux:

O gráfico desta função é constituído por uma série de triângulos. Para n=1,2,3,\dots, o triângulo número ‘n‘ tem 2n de altura e \dfrac{1}{n^3} de base. A curva assim delimitada está relacionada com uma função contínua ilimitada, cujo integral é a soma das áreas dos triângulos. A área do triângulo número n é \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2n}{n^3}\right) =\dfrac{1}{n^2}. Por este motivo a soma das áreas é igual à soma de n=1 até infinito dos termos da forma \dfrac{1}{n^2}. Esta soma é \dfrac{\pi^2}{6} (um resultado bem conhecido (*) ). Por conseguinte o integral é convergente.

Outra resolução: fatima

(*) [A proof here (in Portuguese) / Uma prova aqui, A. Tavares]

[Typo corrected, corrigida gralha  \dfrac{\pi^2}{6} A. Tavares]

[Graph corrected, corrigido gráfico A. Tavares]

 

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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