MARCUS VINÍCIUS FERREIRA DE ANDRADE PEZOTTI

4º ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

NOVO MÉTODO DA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU PELA FÓRMULA DE ANDRADE PEZOTTI

Introdução:

Justifica-se o presente trabalho como uma síntese de uma pesquisa cientifica e histórica sobre o tema “a resolução da equação do 3º grau os seus principais relatos históricos e a demonstração de um novo método para resoluções da equação cúbica” denominado “MÉTODO GERAL DA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU ANDRADE PEZOTTI” ”relacionado o nome da fórmula ao de seus autores professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE ora já falecido e o professor JOÃO PEZOTTI SOBRINHO criadores de uma fórmula geral para a resolução da equação do 3º grau um dos mais antigos problemas da história da matemática e da humanidade e que foi questionada por diversas personalidades da história ,faz-se um levantamento histórico de datas e dados a cerca do assunto, desde a resolução da equação do 1º grau, do 2º grau, e as principais tentativas para a solução do problema , o novo método encontra a três raízes do problema milenar, com eficiência superior em relação ao método de resolução atual (Método de Ferro,Tartaglia,Cardano) e aos diversos métodos de aproximação, e com tanta facilidade de aplicação que poderá ser incluso em qualquer ano letivo do segundo grau, dando seqüência aos estudos de equações.

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Este método foi desenvolvido pelos professores OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE , JOÃO PEZOTTI SOBRINHO E MARIA JOANA DE ANDRADE em reuniões continuas durante um período superior a 12 anos de estudos seguidos, resultando entre outros , com a publicação da fórmula da resolução da divisão de ângulos em n partes iguais , com o falecimento de Osvaldo Ferreira de Andrade no ano de 1986, estes trabalhos de estudos foram paralisados, mas continham a nova fórmula para a resolução da equação do 3º grau, estes matérias ficaram quardados por 14 anos , dentro de caixas contendo 56 cadernos comuns , que contem a fórmula geral da equação do 3º grau com todas as suas relações, exemplos, e ainda servindo como documento histórico provando a autenticidade da origem dos verdadeiros estudiosos e criadores da fórmula , e a origem de seus estudos e pensamentos verdadeiros descobridores da Fórmula do 3º grau, no ano de 1999 Marcus Vinícius Ferreira de Andrade Pezotti segundo filho de João Pezotti Sobrinho , acadêmico do curso de graduação em Engenharia da Computação da UNOPAR,UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ, situada na cidade de Arapongas ,que sempre soube do conteúdo e da existência dos trabalhos , e participou como testemunha de diversas reuniões de estudos, começa a fazer um levantamento dos estudos , dos cadernos e anotações e também este relatório histórico acerca do assunto da resolução da equação do 3º grau, hoje julho de 2001 , preparo este artigo para que a Ciências e todos que dela se afortunam em conhecimento compartilhem do conhecimento da fórmula geral da equação do 3º grau pelo método Andrade Pezotti .

HISTÓRIA:

O termo álgebra dentro de um sentido histórico , vem de uma noção de resolver equações, encontrar respostas ,encontrar soluções.As equações que se procuravam responder ao longo da história apareceram por ordem crescente de complexidade.Entende-se por equação, uma condição onde figura o símbolo “=“ (igualdade), e onde pode-se encontrar uma ou mais variáveis ,sendo estas a incógnita ou termos desconhecidos, o termo álgebra só começa a ser utilizado na linguagem matemática por volta do séc. XVII, no entanto a sua noção de igualdade vem já desde a antiguidade. Resolver uma equação é encontrar as suas raízes ou soluções.
As equações classificam-se consoante o seu grau, que tem a ver com o número que figura no expoente das suas incógnitas. Assim, podem classificar-se em equações do primeiro, segundo, terceiro grau, …, se o maior expoente das incógnitas, que figura na equação for, respectivamente 1, 2, 3, … As soluções de uma equação são os valores que transformam a equação numa proposição verdadeira se as variáveis forem por eles substituídos.
A equação do primeiro grau(Gráfico 01):
A equação a x + b = 0 com a não nulo, admite uma única raiz dada por:
x = -b/a
Exemplo:
2 x + 4=0
X= -4/2
X= -2
A raiz da equação 2 x + 4=0 é –2.

Gráfico(01):

A equação do segundo grau (Gráfico 02)

A equação a x2 + b x + c = 0 com a não nulo, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:
x1 = (-b + R[b2-4ac] / 2a
x2 = (-b – R[b2-4ac]/ 2a
onde R[z] é a raiz quadrada de z.

EXEMPLO: a*x^2+b*x+c=0 onde a=2 , b=4 c=-9/8 :

Gráfico 02:

A equação do terceiro grau (Gráfico 03)
A equação ax3+bx2+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Del Ferro, Tartaglia (Cardano) e pela Fórmula de Andrade Pezotti , sendo que esta última representa um novo marco na história da matemática.

EXEMPLO:
a*x^3+b*x^2+c*x+d=0 onde a=1, b=2,c=-3,d=4

Gráfico 03:

A equação do quarto grau (Gráfico 04)
A equação ax4+bx3+cx2+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
EXEMPLO:
ax4+bx3+cx2+dx+e=0 sendo a=1, b=2, c=-2 , d=4 e e=5 temos o gráfico:

Gráfico 04:

A equação do quinto grau

Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão, métodos de aproximações .
A equação de grau n
N números de incógnitas.Resolução por métodos de aproximação.
Como base para descrição histórica da resolução da equação do 3º grau , tomamos a seguinte linha do tempo além de marcos históricos:
Cronologia:
Ahmes cerca de 1650 a.C.
Tales de Mileto
cerca de 600 a.C.
Pitágoras no VI século a.C.
Euclides
cerca de 325 a.C.
Arquimedes de Siracura 287 (?) – 212 a.C.
Eratóstenes 276 (?) – 194 (?) a.C.
Apolõnio de Perga cerca de 200 a.C.
Diofante por volta de 250
Pappos por volta de 400
Eutócios
Abdallah al-Mahanui
Civilização Islâmica
Umar al-Khayyami (Omar)
Mohamed ibn Musa Alchwarizmi por volta de 480
825-888

800-1200

1048-1131
princípios do séc. IX
Leonardo (Fibonacci) de Pisa 1180 (?) – 1250 (?)
Regiomontanus (Johann Müller) 1436 – 1476
Fra Luca Pacioli 1445 (?) – 1514
Nicolas Chuquet fins do séc. XV
Michael Stifel 1487 (?) – 1567
Jerõnimo Cardano 1501 – 1576
Nicolò Fontana, cognom. Tartaglia 1500 (?) – 1557
Lodovico Ferrari 1522 – 1565
François Viète 1540 – 1603
Ludolf van Ceulen 1540 – 1610
Sir John Napier 1550 – 1617
Jost Bürgi 1552 – 1632 (?)
Thomas Harriot 1560 – 1621
Galileu Galilei 1564 – 1642
Johannes Kepler 1571 – 1630
Bonaventura Cavalieri 1598 (?) – 1647
René Descartes
1596 – 1650
Pierre de Fermat
1601 – 1665
Evangelista Torricelli 1608 – 1647
John Wallis 1616 – 1703
Blaise Pascal 1623 – 1662
Christian Huygens 1629 – 1695
James Gregory 1638 – 1675
Sir Isaac Newton 1643 – 1727
Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 – 1716
Jacques Bernoulli 1654 – 1705
João I Bernoulli 1667 – 1748
Brook Taylor 1685 – 1731
Colin Mac Laurin 1698 – 1746
Daniel Bernoulli 1700 – 1782
Leonhard Euler
1707 – 1783
João II Bernoulli 1710 – 1790
Jean le Rond d’Alembert 1717 – 1783
Joseph Louis Lagrange 1736 – 1813
Pierre Simon Laplace 1749 – 1827
Carl Friedrich Gauss
1777 – 1855
Augustin Louis Cauchy 1789 – 1857
August Ferdinand Moebius 1790 – 1868
Nikolai Ivanovitch Lobatchevski 1793 – 1856
Niels Henrik Abel 1802 – 1829
Johan von Bolyai 1802 – 1860
Evariste Galois 1811 – 1832
Bernhard Riemann 1826 – 1866
Richard Dedekind
Osvaldo Ferreira de Andrade 1831 – 1916
1944-1987
João Pezotti Sobrinho 1945…

Os mais antigos relatos do interesse pelas equações cúbicas parece ter-se iniciado com Arquimedes de Siracusa (287-212 A.C.), o maior matemático do período helenístico e de toda a antiguidade. No seu trabalho “Da Esfera e do Cilindro” considera o problema de cortar uma esfera por um plano de tal modo que a razão dos volumes dos dois pedaços na qual ela fica dividida seja um dado número, e mostra que a solução deste problema passa pela resolução de uma equação cúbica da forma:

x3 + m = nx2

Arquimedes resolve então esta equação usando a intersecção de uma parábola com uma hipérbole retangular e analisa o número de raízes positivas.O relato de interesse por equações cúbicas desaparece logo após Arquimedes,somente 700 anos depois , algo entre em torno de 480-? D.C. , por Eutocius um comentador de obras de Apolônio e Arquimedes. Eutocius encontra um fragmento que parece conter a autêntica análise de Arquimedes, obtém a solução e encontra uma condição sobre os coeficientes que determina o número de raízes reais que satisfazem as condições dadas. O registros de interesse pelas equações cúbicas volta a desaparecer, encontrando registros somente 400 anos depois , já no seio da civilização islâmica, por uma análise do mesmo resultado de Arquimedes feita por Abu ‘Abdallah al-Mahanui (825-888 D.C.), as análises de Arquimedes depois de mil anos salvo pequenas evoluções na maneira de demonstra-las ainda eram as únicas respostas para o intrigante problema, provavelmente muitos tentaram resolve-las mas sem sucesso.Tipos particulares de equações cúbicas são então considerados e resolvidos por alguns matemáticos islâmicos, como Thãbit ibn Qurra (836-901), al-Hasan ibn al-Haitham (965-1039) (conhecido por Alhazen), entre muitos outros. É porém o matemático e poeta persa ‘Umar al-Khayyami (1048-1131), também conhecido por Omar Khayyam, um dos maiores gênios do seu tempo, o primeiro a tratar de modo sistemático as equações do 3º grau. No seu livro “Al-jabr wa’l muqabalah” (1079), Khayyam classifica as equações cúbicas em 19 tipos (quando expressas apenas com coeficientes positivos), mostrando que 5 destes tipos se reduzem a equações do 2º grau e, usando seções cônicas, resolve os restantes 14 tipos. No seu livro, Omar Khayyam faz ainda a discussão do número de raízes para cada tipo de cúbica. É de notar também que, apesar de todas as suas construções serem de índole geométrica , sob influência da tradição grega, e de exprimir as soluções das cúbicas como segmentos e não como números dependendo dos coeficientes da equação, sabemos que Khayyam procurava encontrar esses números, pois escreve no seu primeiro capítulo a cerca da resolução da equação cúbica:

“Quando, porém, o objetivo do problema é um número absoluto, nem eu, nem nenhum daqueles que se dedicam à álgebra, conseguiram resolver esta equação – talvez outros que se seguirão sejam capazes de preencher esta lacuna – exceto quando contém os três primeiros graus, nomeadamente, número, coisa e o quadrado.”

Por “número absoluto”, Khayyam refere-se ao que nós chamaríamos de uma solução algébrica, por oposição a uma solução geométrica. Iriam passar-se mais de 400 anos antes que “os que se seguirão” serem capazes dessa resolução algébrica desejada por Omar Khayyam. Não que não tivessem havido tentativas para a solução ,entretanto novamente nenhum registro de progresso por um longo período.Entre os matemáticos que antecederam este período destaca-se Luca Pacioli que nasceu em Borgo San Sepolcro, em 1445 , Em 1494, escreveu a Summa de Arithmetica, Geometria, Proporcione et Proporcionalitá, uma obra de caráter enciclopédico de larga difusão e notável influência (uma das obras mais influentes do início do Renascimento). Nesta obra, Pacioli diz que a resolução de equações do 3.º grau é tão difícil quanto a quadratura do círculo. No entanto, a resolução daquelas equações estava para breve e iria desencadear um notável desenvolvimento da Matemática.As respostas as perguntas de Omar Khayyam ,por volta de 440 anos depois coube a Scipione del Ferro, professor de matemática da Universidade de Bolonha, uma das mais antigas universidades medievais, com uma forte tradição em matemática. Este descobriu, não se sabe como nem exatamente quando, apenas que deve ter sido algo por volta de 1515, como resolver cúbicas da forma x3 + px = q.
Durante os séculos XVI e XVII era usual manterem-se secretas estas descobertas, desafiando as universidades rivais a resolver o mesmo problema em desafios, e talvez por isto Scipione del Ferro não divulgou o seu método. No entanto, antes de morrer, este confidencia o seu segredo a seu aluno António Maria Fior (primeira metade do séc. XVI), e ao seu cunhado e sucessor Annibale della Nave (1500?-1558).
Suponha-se que a idéia da existência de solução algébrica para uma cúbica se espalhou como uma lenda , e Tartaglia relata que o conhecimento da possibilidade de resolver a equação inspirou-o a dedicar-se a achar o método por si só,. Seja independente, seja baseado numa sugestão( é possível que Tartaglia tenha tido uma fonte com alguma dica da solução), Tartaglia de fato aprendeu, por volta de 1541, a resolver equações cúbicas. Quando a notícia disso se espalhou, foi organizada uma competição matemática entre Tartaglia e Fior. Cada um dos concorrentes propôs trinta questões para que o outro resolve-se num intervalo de tempo fixado. Quando chegou o momento da decisão, Tartaglia havia resolvido todas as questões propostas por Fior, enquanto este, não tinha resolvido nenhuma das questões propostas pelo seu oponente. A explicação é relativamente simples. Hoje pensamos em equações cúbicas como sendo essencialmente todas de um mesmo tipo e podendo ser todas resolvidas por um mesmo método algébrico por uma fórmula geral denominado Método Andrade Pezotti. Na época, porém, quando coeficientes negativos praticamente não eram usados, havia tantos tipos de cúbicas quantas são as possibilidades dos coeficientes positivos e negativos.Fior só sabia resolver equações do tipo x3 + px = q embora na época só fossem usados coeficientes numéricos (positivos) específicos. Mas enquanto isso, Tartaglia havia aprendido a resolver equações do tipo em que cubos e quadrados são igualados a um número x3 + px2 = q e sabia reduzir esse caso ao de Fior discípulo de Del Ferro.Tartaglia propôs todas as equações desta forma, e Fior não conseguiu respondelas , a fórmula de Tartaglia continha uma evolução em relação a de Del Ferro, mas nenhum dos dois chegou a publicar a fórmula , mérito histórico que coube a Cardano, que ao saber do resultado da disputa convida Tartáglia a morar em sua casa, e obtém a fórmula da resolução da equação de 3º grau sob forma de juramento, de que não a confidenciaria a mais ninguém , descumpre a promessa e publicou-a em sua obra AS MAGNA em 1545 , porém referencia Tartáglia como o autor, AS MAGNA contém também a resolução da equação do 4º grau atribuída a seu discípulo Ferrari , Cardano entra para a hístoria como o autor da obra mais importante da álgebra de seu tempo, e marco inicial da álgebra moderna, e o nome da equação do terceiro grau ficou por muito tempo lembrada como fórmula de Cardano.Passados 440 anos desta publicação um grupo de professores de uma mesma família , por mais de 12 anos estudam e terminam por conseguir a resolução de um método para a equação do 3º , estes professores eram coordenados pelo professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE ,nascido em———————–,formado em…………………colaboraram para a obtenção e resolução professor em…………………………………………., e o PROFESSOR JOÃO PEZOTTI SOBRINHO, CUNHADOS, E ERAM AUXILIADOS PELAS suas respectivas esposas MARIA JOSÉ GIMENES DE ANDRADE , GENI FERREIRA DE ANDRADE PEZOTTI, e mais outra pessoa que acompanhava e participava nos estudos era a professora de Matemática JOANA FERREIRA DE ANDRADE , irmã mais velha de OSVALDO E GENI .Estes estudos com fins matemáticos iniciaram-se no período de 1975 e foram paralizados somente em 1997 com a morte prematura do Professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE por afogamento no litoral do estado do Paraná. O resultados destes estudos entre outros foram uma monografia apresentada pelo professor Osvaldo com o título “ DIVISÃO DE ÂNGULOS EM n PARTES IGUAIS” dedicada aos professores o cunhado JOÃO PEZOTTI SOBRINHO , e a irmã MARIA JOANA DE ANDRADE “pelos primeiros rudimentos matemáticos ” apresentada ao Curso de Especialização em Ensino da matemática do 1º Grau pelo professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE na FACULDADE de FILOSOFIA ,CIÊNCIAS E LETRAS DE ARAPONGAS EM 1987 , futura UNOPAR,UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ e um arquivo de estudos relacionados a uma fórmula geral para a resolução da equação do 3º grau.O professor OSVALDO pretendia publicar estes trabalhos e demonstra-lo a comunidade ciêntifica em um livro que preparava , publicação esta adiada por 14 anos e é o objetivo principal deste artigo, a demonstração uma nova fórmula resolvente das equações do 3 º grau.

Método Andrade Pezotti

DEFINIÇÃO:

Denomina-se equação algébrica do 3º grau a uma variável “x” quando esta pode ser reduzida a forma:

ax³ + bx² + cx + d = 0 eq:1

Com a,b,c,d pertencentes a R e a0
Os coeficientes “ a ”, ” b ”, ” c ” e “ d ” são os parâmetros,
e “x” a incógnita. A expressão supra denomina-se forma Normal ou Geral e será dita completa se os parâmetros forem diferentes de zero.

Observação:Dis-se que a equação é completa quando a,b,c,d forem diferentes de 0.

Gráfico:

O gráfico de uma equação algébrica do 3º grau, é uma curva , cujos pontos coordenados, satisfazem á equação.

Não sou professor, mas um eng. reformado que gosta de Matemática.

A série 2,10,12,16,17,18,19 pode continuar da seguinte forma:

200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, …

que é a sequência A060248 da The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http://oeis.org/A060248). É formada pelos números que em português começam pela letra d.