Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)

A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição x=t+h:

a\left( t+h\right) ^{3}+b\left( t+h\right) ^{2}+c\left( t+h\right) +d=0

at^{3}+\left( b+3ah\right) t^{2}+\left( c+2bh+3ah^{2}\right) t+d+ch+ah^{3}+bh^{2}=0

Dividindo por a e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de t, obtemos — se escolhermos h=-\dfrac{b}{3a}

x=t-\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 2\right)

– uma nova equação cúbica (em t) à qual falta o termo do 2.º grau:

t^{3}+pt+q=0\qquad \left( 3\right)

cujos coeficientes são:

p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}\qquad \left( 4\right)

e

q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}\qquad\left( 5\right)

Se exprimirmos a variável t na soma de duas outras 

t=u+v\qquad \left( 6\right)

a equação \left( 3\right) transforma-se em

\left( u^{3}+v^{3}+q\right) +\left( 3uv+p\right) \left( u+v\right) =0\qquad (7)

Uma solução de (7) é a dada pelo sistema em u e v

\left\{ \begin{array}{c}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27}\end{array}\right.\qquad \left( 8\right)

Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números u^{3} e v^{3} dos quais se sabe a soma S=u^{3}+v^{3}=-q e o produto P=u^{3}v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27}. Como é bem sabido esses números são as duas soluções Y_{+} e Y_{-} da equação auxiliar do 2.º grau:

Y^{2}-SY+P=0\qquad \left( 9\right)

De facto

\left\{\begin{array}{c}Y_{+}+Y_{-}=S\\Y_{+}Y_{-}=P\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{+}+P/Y_{+}=S\\Y_{-}=P/Y_{+}\end{array}\right.

\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{+}^{2}-SY_{+}+P=0\\Y_{-}=P/Y_{+}\end{array}\right.

e

\left\{ \begin{array}{c}Y_{+}+Y_{-}=S\\Y_{+}Y_{-}=P\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{-}+P/Y_{-}=S\\Y_{+}=P/Y_{-}\end{array}\right.

\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{-}^{2}-SY_{-}+P=0\\Y_{+}=P/Y_{-}\end{array}\right.

Resolvendo-a determinamos

Y_{+}=\dfrac{S+\sqrt{S^{2}-4P}}{2}=-\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}=\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}\qquad\left( 10\right)

Y_{-}=\dfrac{S-\sqrt{S^{2}-4P}}{2}=-\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}=\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}\qquad\left( 11\right)

Nesta notação o discriminante \Delta é igual a

\Delta =q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}.

Consideremos, sem perda de generalidade, Y_{+}=u^{3} e Y_{-}=v^{3}. Introduzindo (10) e (11) em (6), obtemos a solução t_{1}=\sqrt[3]{Y_{+}}+\sqrt[3]{Y_{-}}:

    t_{1}=\left( \dfrac{-q+\sqrt{\Delta }}{2}\right) ^{1/3}+\left(\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}\right) ^{1/3}

ou seja

t_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}\qquad (12)

e uma solução da equação inicial

x_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}-\dfrac{b}{3a}\quad \left( 13\right)

Conhecida a solução t_{1}, podemos determinar as duas restantes t_{2} e t_{3} decompondo o polinómio do primeiro membro de (3) num produto de factores lineares:

\left( t-t_{1}\right) \left( t-t_{2}\right) \left( t-t_{3}\right) =t^{3}+pt+q

ou

t^{3}-\left( t_{1}+t_{2}+t_{3}\right) t^{2}+\left( t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{3}\right) t-t_{1}t_{2}t_{3}=t^{3}+pt+q

Os dois polinómios são equivantes se tiverem iguais coeficientes homólogos:

\left\{ \begin{array}{c}t_{2}+t_{3}=-t_{1}\\t_{2}t_{3}=-\dfrac{q}{t_{1}}\end{array}\right. \qquad \left( 14\right)

Novamente temos de determinar dois números t_{2} e t_{3} dos quais se conhece a soma (-t_{1}) e o produto (-\dfrac{q}{t_{1}}). Para esse fim formamos a equação do 2.º grau:

Z^{2}+t_{1}Z-\dfrac{q}{t_{1}}=0\qquad \left( 15\right)

que resolvida dá as soluções

t_{2}=Z_{+}=-\dfrac{t_{1}}{2}+\sqrt{\dfrac{t_{1}^{2}}{4}+\dfrac{q}{t_{1}}}\qquad \left( 16\right)

t_{3}=Z_{-}=-\dfrac{t_{1}}{2}-\sqrt{\dfrac{t_{1}^{2}}{4}+\dfrac{q}{t_{1}}}\qquad \left( 17\right)

As três soluções da equação em x são então:

x_{k}=t_{k}-\dfrac{b}{3a}\qquad k=1,2,3\qquad \left( 18\right)

No caso do discriminante ser negativo, p<0, convertemos os complexos conjugados Y_{+} e Y_{-} à forma trigonométrica

Y_{+}=\dfrac{-q+i\sqrt{-\Delta }}{2}=\left\vert Y_{+}\right\vert \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)

Y_{-}=\dfrac{-q-i\sqrt{-\Delta }}{2}=\left\vert Y_{-}\right\vert \left(\cos \theta -i\sin \theta \right)

Os módulos são iguais:

\left\vert Y_{+}\right\vert =\left\vert Y_{-}\right\vert =\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}-\Delta }=\sqrt{-\dfrac{p^{3}}{27}}

e os argumentos são simétricos, sendo o de Y_{+}:

\theta =\arccos \left( \dfrac{-q/2}{\left\vert Y_{+}\right\vert }\right) =\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right)

As três raízes cúbicas de Y_{+} e Y_{-} são (k=0,1,2)

\left\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{Y_{+}}=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\left(\cos \left( \dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) +i\sin\left(\dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) \right)\\\\\sqrt[3]{Y_{-}}=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\left( \cos \left( \dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) -i\sin \left(\dfrac{\theta }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}\right) \right) \end{array}\right.\qquad \left( 19\right)

Obtemos, respectivamente, para k=0, 1 e 2 as três soluções da equação \left( 3\right) :

t_{1}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) \right) \qquad \left( 20\right)

t_{2}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{2\pi }{3}\right) \qquad \left( 21\right)

t_{3}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) \qquad \left( 22\right)

e as da equação original \left( 1\right) :

x_{1}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) \right) -\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 23\right)

x_{2}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{2\pi }{3}\right) -\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 24\right)

x_{3}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( -\dfrac{q}{2}\sqrt{-\dfrac{27}{p^{3}}}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) -\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 25\right)

 Exemplos

1. Determine as soluções da equação

  x^{3}-6x^{2}+11x-6=0

\blacktriangleright\quad Os coeficientes são:

a=1,b=-6,c=11,d=-6

Pondo

x=t-\dfrac{b}{3a}=t-\dfrac{-6}{3}=t+2

a equação transforma-se em

t^{3}-t=0

uma vez que os seus coeficientes são

p=11-\dfrac{\left( -6\right) ^{2}}{3}=-1

e

q=\dfrac{2\left( -6\right) ^{3}}{27}-\dfrac{\left( -6\right) 11}{3}-6=0

As suas soluções são t=0,1,-1, a que correspondem as da equação na forma canónica x=2,3,1.\quad\blacktriangleleft

2. Resolva

2x^{3}-22x-12=0

\blacktriangleright\quad Agora temos

a=2,b=0,c=-22,d=-12

Como era de esperar a substituição é

x=t-\dfrac{b}{3a}=t

e os coeficientes da equação em t

t^{3}-11t-6=0

são simplesmente os da equação inicial divididos por 2:

p=\dfrac{c}{a}=-11

e

q=\dfrac{d}{a}=-6

O discriminante é negativo

\Delta =\dfrac{6^{2}}{4}-\dfrac{11^{3}}{27}=-\dfrac{1088}{27}

Assim, como h=-\dfrac{b}{3a}=0:

t_{1}=2\sqrt{\dfrac{11}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{6}{2}\sqrt{\dfrac{27}{11^{3}}}\right) \right) =3,561\,6=x_{1}

t_{2}=2\sqrt{\dfrac{11}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{6}{2}\sqrt{\dfrac{27}{11^{3}}}\right) +\dfrac{2\pi }{3}\right) =-3,0=x_{2}

t_{3}=2\sqrt{\dfrac{11}{3}}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{6}{2}\sqrt{\dfrac{27}{11^{3}}}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) =-0,561\,55=x_{3}

Tentando diminuir os erros de cálculo, reparemos que o inteiro -3 é uma solução. Se recalcularmos as outras duas, obtemos as soluções exactas:

-\dfrac{-3}{2}+\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{-6}{-3}}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{17}

e

-\dfrac{-3}{2}-\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{-6}{-3}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{17}\quad\blacktriangleleft

3. Resolva a equação

x^{3}-3x^{2}+x+5=0

\blacktriangleright\quad Os coeficientes são:

a=1,b=-3,c=1,d=5

Fazendo a substituição

x=t+1

obtém-se a equação

t^{3}-2t+4=0

em que

p=\dfrac{1}{1}-\dfrac{\left( -3\right) ^{2}}{3}=-2

e

q=\dfrac{2\left( -3\right) ^{3}}{27}-\dfrac{\left( -3\right) }{3}+\dfrac{5}{1}=4

Uma solução da equação em t é dada pela fórmula resolvente

t_{1}=\left( -\dfrac{4}{2}+\sqrt{\dfrac{4^{2}}{4}+\dfrac{\left( -2\right) ^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{4}{2}-\sqrt{\dfrac{4^{2}}{4}+\dfrac{\left( -2\right) ^{3}}{27}}\right) ^{1/3}=-2

a que corresponde a solução da equação em x:

x_{1}=-2-\dfrac{-3}{3}=-2+1=-1

As restantes soluções da equação em t são

t_{2}=-\dfrac{-2}{2}+\sqrt{\dfrac{4}{4}+\dfrac{4}{-2}}=1+\sqrt{-1}=1+i

t_{3}=-\dfrac{-2}{2}-\sqrt{\dfrac{4}{4}+\dfrac{4}{-2}}=1-\sqrt{-1}=1-i

e, portanto, as da equação em x são

x_{2}=1+i+1=2+i

x_{3}=1-i+1=2-i\quad\blacktriangleleft

Adenda: a equação seguinte aparece nesta questão de Rajesh K Singh no MSE

x^{3}-13x^{2}+32x+20=0

As três soluções são

x_{1}=\dfrac{2\sqrt{73}}{3}\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{55\sqrt{73}}{5329}\right)\right)+\dfrac{13}{3}\approx 9.347\,9

x_{2}=\dfrac{2\sqrt{73}}{3}\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left( \dfrac{55\sqrt{73}}{5329}\right)+\dfrac{2\pi }{3}\right)+\dfrac{13}{3}\approx -0.513\,6

x_{3}=\dfrac{2\sqrt{73}}{3}\cos \left( \dfrac{1}{3}\arccos \left( \dfrac{55\sqrt{73}}{5329}\right) +\dfrac{4\pi }{3}\right) +\dfrac{13}{3}\approx 4.165\,7

Referência

Compêndio de Álgebra do 7.º ano do Liceu, 1963, de J. Sebastião e Silva e J. da Silva Paulo, págs. 217-218.

14.05.10: acrescentada figura.

22.05.10: pode encontrar aqui a resolução da equação do 4.º grau ou quártica.

30.06.11: No artigo Sobre Raízes Reais da Cúbica Real, de Gervasio Gurgel Bastos encontrará um tratamento teórico baseado no  estudo do determinante da cúbica.

5.03.13: acrescentada referência.

28.05.13: acrescentada adenda.

20.06.13: corrigido sinal em (13).

23.05.14: feitas algumas correcções no exemplo 3.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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69 respostas a Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)

  1. ateixeira diz:

    Gostei imenso deste artigo. Só por curiosidade: por acaso leu o livro “A Experiência Matemática”?

    • Obrigado, ateixeira!

      Por sinal li. Eis uma cópia da capa da 1.ª edição de 1995:

      Nas páginas 188 a 191, no parágrafo “A matemática como enigma” os autores apresentam a exposição de Cardano, que começa por definir a solução como diferença das raízes cúbicas de dois números dos quais se sabe a diferença e o produto e verificam que essa solução satisfaz a equação cúbica sem termo quadrático.

    • Samuel Neves Santanna diz:

      gostei muito da explicaçao

  2. Gostei do método apresentado para resolver completamente uma equação do terceiro grau. Parabéns!!!

  3. AIRES diz:

    VERY GRATEFUL, THE WORK THAT THE FRIEND ARE DOING HERE. BEING VERY HELPFUL FOR MY WORK. Regards ACM

  4. Gervasio Gurgel Bastos diz:

    Prezado prof. Tavares:
    Li e gostei do seu artigo sobre as equações cúbicas. Tenho duas comunicações sobre o assunto que julgo interessantes como complemento ao seu artigo. Como faria para que meu escrito apareça em seu sítio (no qual está o seu artigo)?
    Atualmente, aposentado, me tenho voltado para os Fundamentos da Matemática, incluíndo o problema da resolução de equações algébricas por radicais, ao lado de minha continuada atuação em pesquisa na subárea de Álgebra — Anéis, Grupos Ordenados –, com algumas incursões na Teoria dos Grupos, e Teoria dos Números.
    Seria o seguinte:
    I. A discussão da equação real cúbica no caso do discriminante dado em termos dos coeficientes.
    II. Uma aplicação geométrica sobre o estudo de certo tipo de triângulo retângulo com hipotenusa dada; aqui surge uma bela constante de separação.
    Tomo a liberdade de esperar uma reposta sua.
    Atenciosamente,
    Gervasio Gurgel Bastos (professor titular, aposentado, da UFC)
    P.S.: Tentei o contato por email mas a mensagem voltou.
    G. G. B.

  5. Prezado Professor Gervasio Bastos

    Sou engenheiro reformado. Ficaria muito satisfeito com uma sua contribuição, dentro dos temas que indica ou outros que julgar convenientes.

    É estranho não ter recebido o seu email. Em princípio não deveria ter havido qualquer problema. O meu endereço é acltavares@sapo.pt .
    Entretanto irei enviar-lhe este meu comentário para o seu email.

    Atenciosamente,
    Américo Tavares

  6. Carlos Henrique diz:

    Prezados,
    Conheço o trabalho do Dr. G. G. Bastos. Fui seu aluno na UFC em 2007 no curso de Estruturas Algébricas e tenham certeza de que é o melhor algebrista que conheço. Hoje sou professor efetivo no Instituto Federal do Ceará e uso as notas escritas pelo Dr. Bastos no curso polinômios e equações algébricas para a licenciatura em matemática.

  7. Caro Dr. Carlos Henrique,

    Poderá ler o artigo Sobre Raízes Reais da Cúbica Real do Dr. G. G. Bastos, que teve a amabilidade de me enviar e que publiquei com muito gosto.

  8. jéssica ferreira diz:

    gostei muito só achei um pouco grande o artigo, mas é a matemática. Afinal, tem que ter muitos exemplos para entender a matemática, procurei o seu site pois preciso fazer um trabalho de matemática, queria encontrar problemas pára expor no meu trabalho, gostei muito são ótimos, o senhor é ótimo em matemática.
    muito obrigado,
    por Jéssica Ferreira

  9. thiago diz:

    realmente, muito obrigado
    ja tinha procurado em outros sites como resolver uma equaçao do 3 grau, mas em todos era meio confuso. porem nesse aqui consegui enterder o raciocinio e aprender .
    parabens e novamente obrigado.

  10. deny diz:

    isso cai em vestibular??

  11. Gatinho diz:

    Nao aprendi nada

  12. Felipe diz:

    No exemplo 1, o valor 0 não corresponde a raiz da equação. É só substituir para conferir.

  13. Walter Da Silva Lopes - aluno da UFF (UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE) BRASIL diz:

    -SIMPLESMENTE EXCELENTE!
    METODOLOGIA SIMPLES E DE FÁCIL ENTENDIMENTO.

  14. Felipe diz:

    Esse método é muito mais trabalhoso.

    Vocês estão querendo debater quem usa o método mais burocrático para resolver uma equação?

    • Este método de Cardano é realmente trabalhoso, mas é o método algébrico mais conhecido. Outros há, como o trigonométrico, igualmente trabalhosos. Quanto a “burocrático” não sei a que se refere. Se não pretender uma expressão em termos de radicais, pode utilizar um método numérico.

  15. Felipe Medeiros diz:

    Que programa você usa pra escrever as equações? Tem alguma coisa a ver com Latex, né?

    • Utilizo o Scientific Work Place. E depois para poder escrever o código aqui no WordPress, é necessário acrescentar latex e um espaço em branco a seguir ao primeiro $. Por exemplo, para escrever \frac{a}{b}, o código habitual é $\frac{a}{b}$, e aqui latex \frac{a}{b} escrito entre dois $. Pode ver mais na categoria LaTeX, na barra lateral e links para três editores de LaTeX no fundo dessa barra.

  16. Afranio Comini diz:

    Gostaria de resolver a equação de 3 grau pela formula de Cardano guando o discriminante for negativo,sendo porém as raízes reais, por exemplo X3-7X-6=0

  17. daniela diz:

    Queria resolver a equaçao (2-x)(3-x)(2-x)-4=0

  18. Gabriel Galindo diz:

    Parabéns, é muito difícil encontrar arquivos de tamanha seriedade, compromisso e qualidade como o que encontrei aqui.

  19. Marcus Vinicius diz:

    Sei não este método é muito parecido com o método do Professor Oswalddo de Andrade, de Jandaia do Sul, Pr, falecido em 1986, vou pesquisar , mas se for este o método e não comentado, não passa de uma fraude….se não for fiquem felizes pois existe um método denominado Andrade Pezotti que resolve todos os tipos de equaçòes cúbicas através de um unico método….vou pesquisar com fontes ligadas as proprietarios dos direitos e voltarei aqui

    • Desconheço em absoluto a obra do Professor Oswalddo de Andrade.

      A primeira vez que tomei contacto com as bases do método exposto foi na Nota Histórica “As grandes descobertas algébricas do século XVI”, no Compêndio de Álgebra do 7.º ano do Liceu, 1963, de J. Sebastião e Silva e J. da Silva Paulo, págs. 217-218, onde é deduzida a fórmula resolvente da equação x^3+px+q=0, bem como a obtenção desta equação reduzida da equação cúbica geral ax^3+bx^2+cx+d=0, por substituição de x por x+h, com h=-b/(3a).

  20. Marcus Vinicius diz:

    Olá professor, por favor desculpe-me o mau jeito, jamais quis pasar a ideia do senhor ter fraudado a publicação , de forma alguma , o ponto bom do meu comentário é que existe uma formula que resolve todas as equações do terceiro grau sem reduzir a uma do segundo grau (Fórmula de Cardano), o problema é como o profesor Osvaldo faleceu em 1986i o seus trabalhos permanecem não publicados até hoje, entre eles existe a resolução da n-setriz divisão de um angulos em n partes iguais , achando assim o resultado da trisetriz,tetratriz…outro trabalho se refere a dita solução da equação do terceiro grau pelo novo método que traz inclusive soluções de uma equação irreal. Como faço para publicar este trabalho de forma séria e que fique registrado para os estudiosos de matematica que a buscam deste a época dos primeiros matematicos.

  21. Marcus Vinicius diz:

    Acabei de dar uma estudada no material do Professor Osvaldo e de sua equipe de pesquisa, la vai:
    EXEMPLO 01:
    A equação: X³ + 9X² + 23X + 15 = 0
    Resulta em: x’=-1, x”=-5, x”‘=-3 sendo tres raizes reais.
    03A equação x³ + 0*x² -12x -24 =0 que resulta em valores satisfaça a condição para haver uma só raiz real e duas irreais.
    x’= 4.207606803
    x” = 2.103803402 + 1.130471703 I.
    – 2.103803402 – 1.130471703 I.
    X”‘ =2.103803402 + 1.130471703 I.
    – 2.103803402 – 1.130471703 I.
    são os resultados descritos aqui,,,,abraço

  22. Marcus Vinicius diz:

    O tema é intrigante desde a academia de ALMES cercade 1650 a.C. já se tentava desenvolver um método que satisfaça a soluções das equações cubicas, 3500 anos depois estamos nós aqui desenterrando uma nova resposta para perguntas de Almes,Tales de Mileto,Pitágoras,Euclides,Arquimedes de Saracura…entre outros centros matemáticos…vamos participar disto? Eu os convido…abraço

  23. romario diz:

    eu posso lhe da uma questao para o senhor responde?

    • Caro Romario,

      Repito o que já escrevi por mais de uma vez. Desculpe, mas este blogue não é um sítio de perguntas e respostas. Poderá procurar uma ajuda para assuntos de matemática, no Mathematics Stack Exchange (em inglês), cujo link poderá ver na barra lateral.

  24. Marcus Vinicius diz:

    Ola professor, como faço uma publicação matemática de um unico modelo de solução para as equações cubicas, tanto com raizes reais ou raizes inreais.Tenho curso superior mas não tenho ligações com a docencia , poderia me ajudar.Obrigado

    • Realmente não o posso ajudar. Poderá criar um blog e publicá-la aí. Também poderá perguntar no Mathematics Stack Exchange — ver link na barra lateral — se o método tem algo de novo, o que deverá ser muito difícil por este assunto ser em pricípio do domínio da Álgebra clássica e ter sido estudado há muito tempo.

  25. Marcus Vinicius diz:

    Professor qual é o proximo numero da série:Ou os proximos dois numeros…
    02,10,12,16,17,18,19…

    • Caro Marcos Vinicius,

      Não sou professor, mas um eng. reformado que gosta de Matemática.

      A série 2,10,12,16,17,18,19 pode continuar da seguinte forma:

      200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, …

      que é a sequência A060248 da The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http://oeis.org/A060248). É formada pelos números que em português começam pela letra d.

    • Felipe diz:

      Bacana…não conhecia essa sequencia.

  26. Marcus Vinicius diz:

    Olá, que bom que a seguencia dispertou a curiosidade, é esta mesma a resposta, parabens duplamente uma por ter acertado e outra principalmente por ter participado…legal isto,conhecia a seguencia mas nunca me preocupei em saber sua origem.
    Bom amigos, tenho em minhas responsabiidades o trabalho implicito de anos de dedicação de um frupo de professores, entre este resultados um novo método de resolução geral das eguações cúbicas, denominado Método Andrade Pezotti, também não sou professor, me formei em uma das áreas da engenharia , onde tive muito contato com a matematica, porem por 10 anos não me debruçava sobre este assunto, já que despertei peço a colaboração dos amantes da matematica para publicar este método de uma forma séria, artigo em congresso, ou uma publicaçào séria de matematica, acho que criar um blog apenas para expor não seria o ideal, aja visto a importancia deste trabalho, mas para isto nescessito de ajuda.
    Agradeço desde já, estou instalando um software matematico e em breve podei apresentar a soluçào para qualquer equação cubica, é só passar a eguação que darei as raizes combinado. Como na época de Tataglia, abraço amigos da matematica.Não quero ser cardano e fazer tudo sozinho, preciso de ajuda de boa vontade abraço!Obrigado.

  27. Marcus Vinicius diz:

    Ola , olhando os trabalhos do professor Osvaldo, tenho aqui metodos de solução da bissetriz, trissetri,tetratriz,n-triz…tudo inédito…vejo que ele estava pretendendo publicar um livro de calculo contendo novos metodos…incrivel um tesouro…que poderia estar na biblioteca de Alexandria…

  28. Marcus Vinicius diz:

    UNOPAR: UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ

    MARCUS VINÍCIUS FERREIRA DE ANDRADE PEZOTTI

    4º ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

    NOVO MÉTODO DA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU PELA FÓRMULA DE ANDRADE PEZOTTI

    Introdução:

    Justifica-se o presente trabalho como uma síntese de uma pesquisa cientifica e histórica sobre o tema “a resolução da equação do 3º grau os seus principais relatos históricos e a demonstração de um novo método para resoluções da equação cúbica” denominado “MÉTODO GERAL DA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU ANDRADE PEZOTTI” ”relacionado o nome da fórmula ao de seus autores professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE ora já falecido e o professor JOÃO PEZOTTI SOBRINHO criadores de uma fórmula geral para a resolução da equação do 3º grau um dos mais antigos problemas da história da matemática e da humanidade e que foi questionada por diversas personalidades da história ,faz-se um levantamento histórico de datas e dados a cerca do assunto, desde a resolução da equação do 1º grau, do 2º grau, e as principais tentativas para a solução do problema , o novo método encontra a três raízes do problema milenar, com eficiência superior em relação ao método de resolução atual (Método de Ferro,Tartaglia,Cardano) e aos diversos métodos de aproximação, e com tanta facilidade de aplicação que poderá ser incluso em qualquer ano letivo do segundo grau, dando seqüência aos estudos de equações.

    ——————————————–

    Este método foi desenvolvido pelos professores OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE , JOÃO PEZOTTI SOBRINHO E MARIA JOANA DE ANDRADE em reuniões continuas durante um período superior a 12 anos de estudos seguidos, resultando entre outros , com a publicação da fórmula da resolução da divisão de ângulos em n partes iguais , com o falecimento de Osvaldo Ferreira de Andrade no ano de 1986, estes trabalhos de estudos foram paralisados, mas continham a nova fórmula para a resolução da equação do 3º grau, estes matérias ficaram quardados por 14 anos , dentro de caixas contendo 56 cadernos comuns , que contem a fórmula geral da equação do 3º grau com todas as suas relações, exemplos, e ainda servindo como documento histórico provando a autenticidade da origem dos verdadeiros estudiosos e criadores da fórmula , e a origem de seus estudos e pensamentos verdadeiros descobridores da Fórmula do 3º grau, no ano de 1999 Marcus Vinícius Ferreira de Andrade Pezotti segundo filho de João Pezotti Sobrinho , acadêmico do curso de graduação em Engenharia da Computação da UNOPAR,UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ, situada na cidade de Arapongas ,que sempre soube do conteúdo e da existência dos trabalhos , e participou como testemunha de diversas reuniões de estudos, começa a fazer um levantamento dos estudos , dos cadernos e anotações e também este relatório histórico acerca do assunto da resolução da equação do 3º grau, hoje julho de 2001 , preparo este artigo para que a Ciências e todos que dela se afortunam em conhecimento compartilhem do conhecimento da fórmula geral da equação do 3º grau pelo método Andrade Pezotti .

    HISTÓRIA:

    O termo álgebra dentro de um sentido histórico , vem de uma noção de resolver equações, encontrar respostas ,encontrar soluções.As equações que se procuravam responder ao longo da história apareceram por ordem crescente de complexidade.Entende-se por equação, uma condição onde figura o símbolo “=“ (igualdade), e onde pode-se encontrar uma ou mais variáveis ,sendo estas a incógnita ou termos desconhecidos, o termo álgebra só começa a ser utilizado na linguagem matemática por volta do séc. XVII, no entanto a sua noção de igualdade vem já desde a antiguidade. Resolver uma equação é encontrar as suas raízes ou soluções.
    As equações classificam-se consoante o seu grau, que tem a ver com o número que figura no expoente das suas incógnitas. Assim, podem classificar-se em equações do primeiro, segundo, terceiro grau, …, se o maior expoente das incógnitas, que figura na equação for, respectivamente 1, 2, 3, … As soluções de uma equação são os valores que transformam a equação numa proposição verdadeira se as variáveis forem por eles substituídos.
    A equação do primeiro grau(Gráfico 01):
    A equação a x + b = 0 com a não nulo, admite uma única raiz dada por:
    x = -b/a
    Exemplo:
    2 x + 4=0
    X= -4/2
    X= -2
    A raiz da equação 2 x + 4=0 é –2.

    Gráfico(01):

    A equação do segundo grau (Gráfico 02)

    A equação a x2 + b x + c = 0 com a não nulo, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:
    x1 = (-b + R[b2-4ac] / 2a
    x2 = (-b – R[b2-4ac]/ 2a
    onde R[z] é a raiz quadrada de z.

    EXEMPLO: a*x^2+b*x+c=0 onde a=2 , b=4 c=-9/8 :

    Gráfico 02:

    A equação do terceiro grau (Gráfico 03)
    A equação ax3+bx2+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Del Ferro, Tartaglia (Cardano) e pela Fórmula de Andrade Pezotti , sendo que esta última representa um novo marco na história da matemática.

    EXEMPLO:
    a*x^3+b*x^2+c*x+d=0 onde a=1, b=2,c=-3,d=4

    Gráfico 03:

    A equação do quarto grau (Gráfico 04)
    A equação ax4+bx3+cx2+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
    EXEMPLO:
    ax4+bx3+cx2+dx+e=0 sendo a=1, b=2, c=-2 , d=4 e e=5 temos o gráfico:

    Gráfico 04:

    A equação do quinto grau

    Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão, métodos de aproximações .
    A equação de grau n
    N números de incógnitas.Resolução por métodos de aproximação.
    Como base para descrição histórica da resolução da equação do 3º grau , tomamos a seguinte linha do tempo além de marcos históricos:
    Cronologia:
    Ahmes cerca de 1650 a.C.
    Tales de Mileto
    cerca de 600 a.C.
    Pitágoras no VI século a.C.
    Euclides
    cerca de 325 a.C.
    Arquimedes de Siracura 287 (?) – 212 a.C.
    Eratóstenes 276 (?) – 194 (?) a.C.
    Apolõnio de Perga cerca de 200 a.C.
    Diofante por volta de 250
    Pappos por volta de 400
    Eutócios
    Abdallah al-Mahanui
    Civilização Islâmica
    Umar al-Khayyami (Omar)
    Mohamed ibn Musa Alchwarizmi por volta de 480
    825-888

    800-1200

    1048-1131
    princípios do séc. IX
    Leonardo (Fibonacci) de Pisa 1180 (?) – 1250 (?)
    Regiomontanus (Johann Müller) 1436 – 1476
    Fra Luca Pacioli 1445 (?) – 1514
    Nicolas Chuquet fins do séc. XV
    Michael Stifel 1487 (?) – 1567
    Jerõnimo Cardano 1501 – 1576
    Nicolò Fontana, cognom. Tartaglia 1500 (?) – 1557
    Lodovico Ferrari 1522 – 1565
    François Viète 1540 – 1603
    Ludolf van Ceulen 1540 – 1610
    Sir John Napier 1550 – 1617
    Jost Bürgi 1552 – 1632 (?)
    Thomas Harriot 1560 – 1621
    Galileu Galilei 1564 – 1642
    Johannes Kepler 1571 – 1630
    Bonaventura Cavalieri 1598 (?) – 1647
    René Descartes
    1596 – 1650
    Pierre de Fermat
    1601 – 1665
    Evangelista Torricelli 1608 – 1647
    John Wallis 1616 – 1703
    Blaise Pascal 1623 – 1662
    Christian Huygens 1629 – 1695
    James Gregory 1638 – 1675
    Sir Isaac Newton 1643 – 1727
    Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 – 1716
    Jacques Bernoulli 1654 – 1705
    João I Bernoulli 1667 – 1748
    Brook Taylor 1685 – 1731
    Colin Mac Laurin 1698 – 1746
    Daniel Bernoulli 1700 – 1782
    Leonhard Euler
    1707 – 1783
    João II Bernoulli 1710 – 1790
    Jean le Rond d’Alembert 1717 – 1783
    Joseph Louis Lagrange 1736 – 1813
    Pierre Simon Laplace 1749 – 1827
    Carl Friedrich Gauss
    1777 – 1855
    Augustin Louis Cauchy 1789 – 1857
    August Ferdinand Moebius 1790 – 1868
    Nikolai Ivanovitch Lobatchevski 1793 – 1856
    Niels Henrik Abel 1802 – 1829
    Johan von Bolyai 1802 – 1860
    Evariste Galois 1811 – 1832
    Bernhard Riemann 1826 – 1866
    Richard Dedekind
    Osvaldo Ferreira de Andrade 1831 – 1916
    1944-1987
    João Pezotti Sobrinho 1945…

    Os mais antigos relatos do interesse pelas equações cúbicas parece ter-se iniciado com Arquimedes de Siracusa (287-212 A.C.), o maior matemático do período helenístico e de toda a antiguidade. No seu trabalho “Da Esfera e do Cilindro” considera o problema de cortar uma esfera por um plano de tal modo que a razão dos volumes dos dois pedaços na qual ela fica dividida seja um dado número, e mostra que a solução deste problema passa pela resolução de uma equação cúbica da forma:

    x3 + m = nx2

    Arquimedes resolve então esta equação usando a intersecção de uma parábola com uma hipérbole retangular e analisa o número de raízes positivas.O relato de interesse por equações cúbicas desaparece logo após Arquimedes,somente 700 anos depois , algo entre em torno de 480-? D.C. , por Eutocius um comentador de obras de Apolônio e Arquimedes. Eutocius encontra um fragmento que parece conter a autêntica análise de Arquimedes, obtém a solução e encontra uma condição sobre os coeficientes que determina o número de raízes reais que satisfazem as condições dadas. O registros de interesse pelas equações cúbicas volta a desaparecer, encontrando registros somente 400 anos depois , já no seio da civilização islâmica, por uma análise do mesmo resultado de Arquimedes feita por Abu ‘Abdallah al-Mahanui (825-888 D.C.), as análises de Arquimedes depois de mil anos salvo pequenas evoluções na maneira de demonstra-las ainda eram as únicas respostas para o intrigante problema, provavelmente muitos tentaram resolve-las mas sem sucesso.Tipos particulares de equações cúbicas são então considerados e resolvidos por alguns matemáticos islâmicos, como Thãbit ibn Qurra (836-901), al-Hasan ibn al-Haitham (965-1039) (conhecido por Alhazen), entre muitos outros. É porém o matemático e poeta persa ‘Umar al-Khayyami (1048-1131), também conhecido por Omar Khayyam, um dos maiores gênios do seu tempo, o primeiro a tratar de modo sistemático as equações do 3º grau. No seu livro “Al-jabr wa’l muqabalah” (1079), Khayyam classifica as equações cúbicas em 19 tipos (quando expressas apenas com coeficientes positivos), mostrando que 5 destes tipos se reduzem a equações do 2º grau e, usando seções cônicas, resolve os restantes 14 tipos. No seu livro, Omar Khayyam faz ainda a discussão do número de raízes para cada tipo de cúbica. É de notar também que, apesar de todas as suas construções serem de índole geométrica , sob influência da tradição grega, e de exprimir as soluções das cúbicas como segmentos e não como números dependendo dos coeficientes da equação, sabemos que Khayyam procurava encontrar esses números, pois escreve no seu primeiro capítulo a cerca da resolução da equação cúbica:

    “Quando, porém, o objetivo do problema é um número absoluto, nem eu, nem nenhum daqueles que se dedicam à álgebra, conseguiram resolver esta equação – talvez outros que se seguirão sejam capazes de preencher esta lacuna – exceto quando contém os três primeiros graus, nomeadamente, número, coisa e o quadrado.”

    Por “número absoluto”, Khayyam refere-se ao que nós chamaríamos de uma solução algébrica, por oposição a uma solução geométrica. Iriam passar-se mais de 400 anos antes que “os que se seguirão” serem capazes dessa resolução algébrica desejada por Omar Khayyam. Não que não tivessem havido tentativas para a solução ,entretanto novamente nenhum registro de progresso por um longo período.Entre os matemáticos que antecederam este período destaca-se Luca Pacioli que nasceu em Borgo San Sepolcro, em 1445 , Em 1494, escreveu a Summa de Arithmetica, Geometria, Proporcione et Proporcionalitá, uma obra de caráter enciclopédico de larga difusão e notável influência (uma das obras mais influentes do início do Renascimento). Nesta obra, Pacioli diz que a resolução de equações do 3.º grau é tão difícil quanto a quadratura do círculo. No entanto, a resolução daquelas equações estava para breve e iria desencadear um notável desenvolvimento da Matemática.As respostas as perguntas de Omar Khayyam ,por volta de 440 anos depois coube a Scipione del Ferro, professor de matemática da Universidade de Bolonha, uma das mais antigas universidades medievais, com uma forte tradição em matemática. Este descobriu, não se sabe como nem exatamente quando, apenas que deve ter sido algo por volta de 1515, como resolver cúbicas da forma x3 + px = q.
    Durante os séculos XVI e XVII era usual manterem-se secretas estas descobertas, desafiando as universidades rivais a resolver o mesmo problema em desafios, e talvez por isto Scipione del Ferro não divulgou o seu método. No entanto, antes de morrer, este confidencia o seu segredo a seu aluno António Maria Fior (primeira metade do séc. XVI), e ao seu cunhado e sucessor Annibale della Nave (1500?-1558).
    Suponha-se que a idéia da existência de solução algébrica para uma cúbica se espalhou como uma lenda , e Tartaglia relata que o conhecimento da possibilidade de resolver a equação inspirou-o a dedicar-se a achar o método por si só,. Seja independente, seja baseado numa sugestão( é possível que Tartaglia tenha tido uma fonte com alguma dica da solução), Tartaglia de fato aprendeu, por volta de 1541, a resolver equações cúbicas. Quando a notícia disso se espalhou, foi organizada uma competição matemática entre Tartaglia e Fior. Cada um dos concorrentes propôs trinta questões para que o outro resolve-se num intervalo de tempo fixado. Quando chegou o momento da decisão, Tartaglia havia resolvido todas as questões propostas por Fior, enquanto este, não tinha resolvido nenhuma das questões propostas pelo seu oponente. A explicação é relativamente simples. Hoje pensamos em equações cúbicas como sendo essencialmente todas de um mesmo tipo e podendo ser todas resolvidas por um mesmo método algébrico por uma fórmula geral denominado Método Andrade Pezotti. Na época, porém, quando coeficientes negativos praticamente não eram usados, havia tantos tipos de cúbicas quantas são as possibilidades dos coeficientes positivos e negativos.Fior só sabia resolver equações do tipo x3 + px = q embora na época só fossem usados coeficientes numéricos (positivos) específicos. Mas enquanto isso, Tartaglia havia aprendido a resolver equações do tipo em que cubos e quadrados são igualados a um número x3 + px2 = q e sabia reduzir esse caso ao de Fior discípulo de Del Ferro.Tartaglia propôs todas as equações desta forma, e Fior não conseguiu respondelas , a fórmula de Tartaglia continha uma evolução em relação a de Del Ferro, mas nenhum dos dois chegou a publicar a fórmula , mérito histórico que coube a Cardano, que ao saber do resultado da disputa convida Tartáglia a morar em sua casa, e obtém a fórmula da resolução da equação de 3º grau sob forma de juramento, de que não a confidenciaria a mais ninguém , descumpre a promessa e publicou-a em sua obra AS MAGNA em 1545 , porém referencia Tartáglia como o autor, AS MAGNA contém também a resolução da equação do 4º grau atribuída a seu discípulo Ferrari , Cardano entra para a hístoria como o autor da obra mais importante da álgebra de seu tempo, e marco inicial da álgebra moderna, e o nome da equação do terceiro grau ficou por muito tempo lembrada como fórmula de Cardano.Passados 440 anos desta publicação um grupo de professores de uma mesma família , por mais de 12 anos estudam e terminam por conseguir a resolução de um método para a equação do 3º , estes professores eram coordenados pelo professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE ,nascido em———————–,formado em…………………colaboraram para a obtenção e resolução professor em…………………………………………., e o PROFESSOR JOÃO PEZOTTI SOBRINHO, CUNHADOS, E ERAM AUXILIADOS PELAS suas respectivas esposas MARIA JOSÉ GIMENES DE ANDRADE , GENI FERREIRA DE ANDRADE PEZOTTI, e mais outra pessoa que acompanhava e participava nos estudos era a professora de Matemática JOANA FERREIRA DE ANDRADE , irmã mais velha de OSVALDO E GENI .Estes estudos com fins matemáticos iniciaram-se no período de 1975 e foram paralizados somente em 1997 com a morte prematura do Professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE por afogamento no litoral do estado do Paraná. O resultados destes estudos entre outros foram uma monografia apresentada pelo professor Osvaldo com o título “ DIVISÃO DE ÂNGULOS EM n PARTES IGUAIS” dedicada aos professores o cunhado JOÃO PEZOTTI SOBRINHO , e a irmã MARIA JOANA DE ANDRADE “pelos primeiros rudimentos matemáticos ” apresentada ao Curso de Especialização em Ensino da matemática do 1º Grau pelo professor OSVALDO FERREIRA DE ANDRADE na FACULDADE de FILOSOFIA ,CIÊNCIAS E LETRAS DE ARAPONGAS EM 1987 , futura UNOPAR,UNIVERSIDADE NORTE DO PARANÁ e um arquivo de estudos relacionados a uma fórmula geral para a resolução da equação do 3º grau.O professor OSVALDO pretendia publicar estes trabalhos e demonstra-lo a comunidade ciêntifica em um livro que preparava , publicação esta adiada por 14 anos e é o objetivo principal deste artigo, a demonstração uma nova fórmula resolvente das equações do 3 º grau.

    Método Andrade Pezotti

    DEFINIÇÃO:

    Denomina-se equação algébrica do 3º grau a uma variável “x” quando esta pode ser reduzida a forma:

    ax³ + bx² + cx + d = 0 eq:1

    Com a,b,c,d pertencentes a R e a0
    Os coeficientes “ a ”, ” b ”, ” c ” e “ d ” são os parâmetros,
    e “x” a incógnita. A expressão supra denomina-se forma Normal ou Geral e será dita completa se os parâmetros forem diferentes de zero.

    Observação:Dis-se que a equação é completa quando a,b,c,d forem diferentes de 0.

    Gráfico:

    O gráfico de uma equação algébrica do 3º grau, é uma curva , cujos pontos coordenados, satisfazem á equação.

    • Gilberto Fagundes diz:

      Marcus, saudações!
      Gostaria muito de receber os escritos do Prof. Andrade Pezotti, sobre as equações cúbicas, sou apreciador da matemática, e das curiosidades do cálculo e o seu verdadeiro sentido e como usa-las?

      Prof. Américo, saudações!

      Tenho um sonho de realizar fóruns de matemática em minha cidade, sinto esta carência, visto que as grandes descobertas não vieram somente de exaustivas tentativas e sim de inspirações, como o próprio Albert Einstein escreveu: ” Para Newton o universo era um livro aberto onde ele podia ler todas as palavras sem medir esforços”.

      Eu entendo que tudo já existe, porém são poucos os que enxergam!

    • Caro Gilberto Faguntes,

      Só uma precisão: sou um engenheiro reformado que gosta de Matemática, como poderá ver na página Sobre

      http://problemasteoremas.wordpress.com/sobre-mim-e-o-blogue/

  29. Pedro diz:

    Gostei muito de seu artigo sobre equações de 3º grau, o conteúdo é apresentado de forma clara e objetiva, tanto que acabei de fazer uma calculadora de equações de 3º grau no Excel, estou no 9º ano do Ensino Fundamental e aprovo seu website.

    Pedro

  30. Pedro diz:

    Correção:

    Em d achei:

    d=aq + bc/3a – 2b³/27a²

    • Pedro diz:

      Então está correto?

      a= c/2p +-\sqrt{-2b^2/3p + c^2/4p^2}; b= +-\sqrt{3a(c-ap)}; c= b^2/3a + ap; d=aq + bc/3a - 2b^3/27a^2

      [Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que é do WordPress:

      a=c/2p\pm\sqrt{-2b^2/3p+c^2/4p^2};

      b=\pm\sqrt{3a(c-ap)};

      c=b^2/3a+ap;

      d=aq+bc/3a-2b^3/27a^2

      ] AT

    • Pedro diz:

      a= c/2p +-\sqrt{-2b²/3p + c²/4p²};

      b= +-\sqrt{3a(c-ap)};

      c= b²/3a + ap;

      d=aq + bc/3a – 2b³/27a²;

      com p=p = (3ac-b²)/3a² e q = (2b³ – 9abc + 27a²d)/27a³

      [Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que é do WordPress (escrever o código entre dois sinais $, acrescentando “latex “, com um espaço, ao primeiro $. Por exemplo b² escreve-se latex b^2 entre dois sinais $):

      a=c/2p\pm\sqrt{-2b^2/3p+c^2/4p^2};

      b=\pm\sqrt{3a(c-ap)};

      c=b^2/3a+ap;

      d=aq+bc/3a-2b^3/27a^2;

      com

      p=(3ac-b^2)/3a^2;

      e

      q=(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)/27a^{3}.

      ] AT

  31. Pedro diz:

    Só uma observação: Se x=t+h; h = -b/3a então se t’ = $$\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$$; então como x’ = $$\sqrt[3]{q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$$; não deveria ser x’ = $$\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$$?

    [Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que por ser do WordPress se deve escrever entre dois sinais $, acrescentando “latex “, com um espaço, ao primeiro $. Por exemplo b² escreve-se latex b^2 entre dois sinais $. Para escrever em modo display (formato maior do que o normal) usar ‘\displaystyle’. Não se deve escrever

    t’ = $$\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$$

    mas

    t’ = \sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}

    entre $latex $,

    porque nesta caixa de comentários $$ … $$ não é compilado.

    Também não se deve escrever

    t’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$ latex $

    mas sim

    t’ = \sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}

    entre $latex $.

    Corrigi b/(3a) em vez de b/3a, porque b/(3a)=\dfrac{b}{3a}, enquanto que b/3a=\dfrac{b}{3}a :

    «Só uma observação: Se x=t+h; h=-b/3a então se

    t'=\displaystyle\sqrt[3]{-q/2+1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}+\sqrt[3]{-q/2-1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}};

    então como

    x'=\displaystyle\sqrt[3]{q/2+1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}+\sqrt[3]{-q/2-1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}-b/(3a);

    não deveria ser

    x'=\displaystyle\sqrt[3]{-q/2+1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}+\sqrt[3]{-q/2-1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}-b/(3a)

    ] AT

  32. Pedro diz:

    Só uma observação: Se x=t+h; h = -b/3a então se t’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$ latex $; então como x’ = $ latex $\sqrt[3]{q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$ latex $; não deveria ser x’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} -b/3a$ latex $?

    [Transcrição e correcção do código LaTeX de forma a ser reconhecido neste blog, que por ser do WordPress se deve escrever entre dois sinais $, acrescentando “latex “, com um espaço, ao primeiro $. Por exemplo b² escreve-se latex b^2 entre dois sinais $. Para escrever em modo display (formato maior do que o normal) usar ‘\displaystyle’. Não se deve escrever

    t’ = $ latex $\sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}$ latex $

    mas sim

    t’ = \sqrt[3]{-q/2 + 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}} + \sqrt[3]{-q/2 – 1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}

    entre $latex $.

    Corrigi b/(3a) em vez de b/3a, porque b/(3a)=\dfrac{b}{3a}, enquanto que b/3a=\dfrac{b}{3}a:

    «Só uma observação: Se x=t+h; h=-b/3a então se

    t'=\displaystyle\sqrt[3]{-q/2+1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}+\sqrt[3]{-q/2-1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}};

    então como

    x'=\displaystyle\sqrt[3]{q/2+1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}+\sqrt[3]{-q/2-1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}-b/3a;

    não deveria ser

    x'=\displaystyle\sqrt[3]{-q/2+1/2\sqrt{q^2 + 4p^3/27}}+\sqrt[3]{-q/2-1/2\sqrt{q^2+4p^3/27}}-b/(3a)

    Nota: este comentário em termos de conteúdo é igual ao anterior, embora a formatação (código \LaTeX) seja diferente.] AT

  33. David Mucuenje diz:

    Bom dia Professor Américo Tavares, sou Angolano e faço estudos em matemática e, neste momento estou a fazer estudos em equações cúbicas tal como se está em discussão neste blog, por termos poucas bibliografia será que podia contar com a ajuda do Professor para ter estes conteúdos? meu correio é mucuenje@yahoo.com

  34. Outro exemplo: a equação [1]

    x^3+3x^2-7x+1=0

    tem as seguintes soluções [2]:

    x_{1}=2\sqrt{10/3}\cos \left( \frac{1}{3}\arccos \left( -5\sqrt{27/10^3}\right) \right) -1 \approx 1.4236,

    x_{2}=2\sqrt{10/3}\cos \left( \frac{1}{3}\arccos \left( -5\sqrt{27/10^3}\right) +\frac{2\pi }{3}\right) -1 \approx -4.5771,

    x_{3}=2\sqrt{10/3}\cos \left( \frac{1}{3}\arccos \left( -5\sqrt{27/10^3}\right) +\frac{4\pi }{3}\right) -1 \approx 0.15347.

    [1] Dek (http://math.stackexchange.com/users/83527/dek), Polynomials – Solutions, URL (version: 2013-06-24): http://math.stackexchange.com/q/428508

    [2] Américo Tavares (http://math.stackexchange.com/users/752/americo-tavares), Polynomials – Solutions, URL (version: 2013-06-25): http://math.stackexchange.com/q/428545

    • Pedro diz:

      Caro Américo Tavares

      Gostaria de propor um exercício simples para o blog:

      Prove que A*TG(x)=B*TG(y) é uma equação equivalente a f(x)=ARCTG\left (\frac{A*TG(x)}{B}  \right ) e calcule:

      f(x) para x=4; a=3; b=5

      OBS: TG=Tangente
      ARCTG=Arco Tangente

      [Transcrição, conversão para LaTeX e uniformização da notação (a em vez de A e b em vez de B) :

      Prove que

      a\tan x=b\tan y

      é uma equação equivalente a

      f(x)=\arctan\left (\dfrac{a\tan x}{b}  \right )

      e calcule:

      f(x) para x=4; a=3; b=5

      ] AT

  35. Pedro diz:

    Caro Américo Tavares

    Gostaria de confirmar se recebeu meu E-Mail

    Pedro.

  36. Pedro diz:

    Caro Américo Tavares

    Penso que seria mais simples utilizar de \begin{cases}  & x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a} \\   & x_{1}x_{2}x_{3}=-\dfrac{d}{a}  \end{cases} para descobrir as outras soluções, pois no fim não será necessário utilizar de -\dfrac{b}{3a}

    Pedro

    • Pedro diz:

      Acho também que seria melhor especificar que 3uv + p = 0 é uma condição imposta tal que v=-\frac{p}{3u} , então t=u-\frac{p}{3u}

  37. Isaac diz:

    Prof. não entendi como no seu exercício de número 3 o valor de t1 deu -2, porque no meu dá apenas raízes de números que não são quadrados perfeitos e não chega no valor exato. E aí como vc fez?

    • Boa pergunta! De início não usei um método exacto. Através da fórmula

      t_{1}=\left( -\dfrac{4}{2}+\sqrt{\dfrac{4^{2}}{4}+\dfrac{\left( -2\right) ^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{4}{2}-\sqrt{\dfrac{4^{2}}{4}+\dfrac{\left( -2\right) ^{3}}{27}}\right) ^{1/3}

      obtive t_1\approx -2, 0000, por aproximação numérica,
      e depois confirmei que t_1=-2 era uma solução exacta da cúbica reduzida t^3-2t+4=0.

  38. Isaac diz:

    Olá professor, novamente venho aqui para que possa me esclarecer mais uma dúvida… Porque em (7) uma solução é dada pelo sistema em (8)? Você igualou a multiplicação de polinômios (3uv+p)(u+v) a 0 e depois o (u³+v³+q) também? Aliás pode fazer isto?

    • Caro Issac,

      Não sou professor, mas um eng. reformado, com gosto pela Matemática.

      Em relação à sua questão, o que se passa é que se (8) tiver uma solução, — e tem –, essa solução também o é de (7). Ou seja, ao decompor p em p=u+v (6), obtem-se (7) que é resolúvel através de (8).

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