Solução do Desafio: áreas de faixas dentro do círculo :: Solution for the Challenge: strip areas inside the circle

Enunciado do desafio :: Challenge statement

Os arcos de circunferência a grosso verdes e azuis têm o mesmo comprimento. A soma das áreas delimitadas pelos arcos e linhas a grosso azuis é igual à soma das áreas delimitadas pelos verdes? Justifique.

Nota: os diâmetros são perpendiculares.

 

The thick green and blue circle arcs have the same lengths. Does the sum of the areas limited by the thick blue arcs and lines equal the sum of the areas limited by the green ones? Justify.

Remark: the diameters are perpendicular.

Solution by Jacques Glorieux:

Let’s denote by a the angle AOB and by b the angle BOE.

The area of the green trapezium (trapezoid) ABCD is :

\dfrac{1}{2}[R\sin (a+b)+R\sin (b)][R\cos (b)-R\cos (a+b)]=

\dfrac{1}{2}R^{2}[\sin (a+b)+\sin (b)][\cos (b)-\cos (a+b)]\qquad (1)

The area of the green trapezium (trapezoid) FGHI can easily be obtained by replacing b by \pi /2-(a+b) in (1):

\dfrac{1}{2}R^{2}[\cos (b)+\cos (a+b)][\sin (a+b)-\sin (b)]\qquad (2)

By summing (1) and (2), we obtain the area of the two green trapezia (trapezoids):

R^{2}\sin (a), which is not dependant on angle b.

If we look at the original drawing, we see that the blue figure is just a particular case of the green one when b=\pi /2-a.

The sum of the areas of the two blue trapezia (trapezoids) is thus the same as the sum of the areas of the two green trapezes.

As the total green (blue) area is equal to the sum of the areas of the two green (blue) trapezia (trapezoids) plus twice the area under one of the chord (i.e. AB), the green and the blue areas are equal.

[Correction of May 12, 2010: trapezium (trapezoid), trapezia (trapezoids) instead of trapeze, trapezes A. Tavares]

* * *

Resolução de Jacques Glorieux:

Designemos por a o ângulo  AOB e por b o ângulo BOE.

A área do trapézio verde  ABCD é:

\dfrac{1}{2}[R\sin (a+b)+R\sin (b)][R\cos (b)-R\cos (a+b)]=

\dfrac{1}{2}R^{2}[\sin (a+b)+\sin (b)][\cos (b)-\cos (a+b)]\qquad (1)

A área do trapézio verde FGHI pode obter-se facilmente  substituindo b por \pi /2-(a+b) em (1):

\dfrac{1}{2}R^{2}[\cos (b)+\cos (a+b)][\sin (a+b)-\sin (b)]\qquad (2)

Somando (1) e (2), obtemos a área dos dois trapézios verdes:

R^{2}\sin (a), que não depende do ângulo b.

Se observarmos o desenho original, vemos que a figura azul é o caso particular da verde para b=\pi /2-a.

A soma das áreas dos dois trapézios azuis é por isso a mesma que a da soma das áreas dos dois trapézios verdes.

Como o total das áreas verdes (azuis) é igual à soma das áreas dos dois trapézios verdes (azuis) mais o dobro da área sob uma corda (i.e. AB), as áreas verdes e azuis são iguas.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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