Solução do Desafio — área entre círculos :: Challenge solution — area between circles

Enunciado do desafio :: Challenge Statement

Tem cinco moedas iguais, cada uma a tocar nas duas adjacentes. No espaço que fica no meio coloca uma moeda tangente às cinco.

Qual é a área total entre as moedas em função do diâmetro d das maiores?

Five equal coins are placed in such a way that each of them is tangent to the two adjacents ones. Another coin tangent to those five is put in the centre.

Find the total area between the coins as a function of the diameter d of each one of the outer five.

* * *

Transcrição com diferente formatação (em LaTeX) da Resolução de RSCS publicada no blogue Simplesmente porque sim . . .[corrigido autor da solução]

Transcription in a different format (using LaTeX) and translation by myself of the Solution by RSCS posted in the blog Simplesmente porque sim . . .[solver corrected] 

Área do pentágono / Area of the pentagon

A_{P}=\dfrac{d^{2}}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}

Área do círculo / Area of the circle

A_{C}=\pi\dfrac{d^{2}}{4}

[Soma dos] ângulos internos do pentágono: 540^\circ=3\pi / [Sum of the] pentagon internal angles: 540^\circ=3\pi

Raio da moeda mais pequena / Radius of the small coin

\dfrac{d}{2}\cdot\dfrac{1}{\cos 54^\circ}-\dfrac{d}{2}

[ Área do círculo pequeno / Area of the small circle

A_{c}=\pi\left( \dfrac{d}{2}\cdot\dfrac{1}{\cos 54^\circ}-\dfrac{d}{2}\right) ^{2}\qquad ]

Área Final / Final Area

A_{P}-5A_{C}\times\dfrac{108}{360}-A_{c}

* * *

Uma nota minha: Substituindo os resultados parciais na área final indicada na resolução, obtive, em função de d^2, para a área pedida:

A note of mine: Replacing the parcial results into the final area indicated in the above solution, I got the requested area as a function of d^2:

A=\dfrac{1}{4}\left( \sqrt{25+10\sqrt{5}}-\left( \dfrac{8}{5-\sqrt{5}}-\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}+\dfrac{5}{2}\right) \pi \right) d^{2}

ou seja / i. e.

\dfrac{A}{d^{2}}=\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}-\left( \dfrac{2}{5-\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}+\dfrac{5}{8}\right) \pi

Usei, entre outras relações, esta / Among others I used this identity:

\cos 54^\circ=\sin (90^\circ-54^\circ)=\sin 36^\circ=\sin (\pi /5)

About these ads

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Exercícios Matemáticos, Exercise, Geometria, Matemática, Matemática-Secundário, Math, Trigonometria com as etiquetas , , , . ligação permanente.

Deixar uma resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

WordPress.com Logo

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Log Out / Modificar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Log Out / Modificar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Log Out / Modificar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Log Out / Modificar )

Connecting to %s