Solução do Desafio -- área entre círculos :: Challenge solution -- area between circles

Enunciado do desafio :: Challenge Statement

Tem cinco moedas iguais, cada uma a tocar nas duas adjacentes. No espaço que fica no meio coloca uma moeda tangente às cinco.

Qual é a área total entre as moedas em função do diâmetro das maiores?

Five equal coins are placed in such a way that each of them is tangent to the two adjacents ones. Another coin tangent to those five is put in the centre.

Find the total area between the coins as a function of the diameter of each one of the outer five.

* * *

Transcrição com diferente formatação (em LaTeX) da Resolução de RSCS publicada no blogue Simplesmente porque sim . . . :  [corrigido autor da solução]

Transcription in a different format (using LaTeX) and translation by myself of the Solution by RSCS posted in the blog Simplesmente porque sim . . . :  [solver corrected] 

Área do pentágono / Area of the pentagon

Área do círculo / Area of the circle

[Soma dos] ângulos internos do pentágono: / [Sum of the] pentagon internal angles:

Raio da moeda mais pequena / Radius of the small coin

Área do círculo pequeno / Area of the small circle

Área Final / Final Area

* * *

Uma nota minha: Substituindo os resultados parciais na área final indicada na resolução, obtive, em função de , para a área pedida:

A note of mine: Replacing the parcial results into the final area indicated in the above solution, I got the requested area as a function of :

ou seja / i. e.

Usei, entre outras relações, esta / Among others I used this identity:

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