Fórmula de Herão da área de um triângulo obliquângulo

Posted on Março 25, 2010 por

Considere-se o seguinte triângulo de vértices A,B,C (ângulos internos A,B,C)  e lados a,b,c.

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,6)\thicklines\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(3,-4){3}}\put(1,1){\line(1,0){6}}\put(2.3,3.2){\textit{b}}\put(5.7,3.1){\textit{a}}\put(3.8,0.5){\textit{c}}\put(4,2.7){\textit{S}}\put(0.6,0.5){\textit{A}}\put(7.1,0.5){\textit{B}}\put(3.8,5.3){\textit{C}}\end{picture} 

A fórmula de Herão da área S de um triângulo é:

S=\displaystyle\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\qquad (\ast )

 

em que p é o semiperímetro do triângulo:

p=\dfrac{a+b+c}{2}\qquad\qquad (\ast\ast )

Dedução:

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,6)\put(4,5){\line(0,-1){4}}\put(4.1,2.7){\textit{h}}\thicklines\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(5,-4){5}}\put(1,1){\line(1,0){8}}\put(0.6,0.8){\textit{A}}\put(9.0,0.8){\textit{B}}\put(3.9,5.2){\textit{C}}\put(2.3,3.2){\textit{b}}\put(6.5,3.1){\textit{a}}\put(4.8,0.5){\textit{c}}\put(4.1,1.2){\textit{P}}\put(2.6,1.2){\textit{r}}\put(6.3,1.2){\textit{s}}\put(5.0,2.7){\textit{S}}\end{picture}

Seja \overline{CP}=h a altura do triângulo [A,B,C] traçada sobre o lado AB. O ponto P, projecção do vértice C sobre o lado AB, divide-o em dois segmentos \overline{AP}=r e \overline{PB}=s tais que \overline{AB}=c=r+s. O teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo [C,P,A] traduz-se em

b^{2}=r^{2}+h^{2}\qquad \left( 1\right)

e aplicado ao triângulo [C,P,B] em

h^{2}=a^{2}-s^{2}\qquad \left( 2\right)

Ora r=c-s pelo que

r^{2}=c^{2}-2cs+s^{2}\qquad \left( 3\right)

Substituindo \left( 2\right) e \left( 3\right) em \left( 1\right) vem:

b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cs\qquad \left( 4\right)

donde

s=\dfrac{1}{2c}\left( c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) \qquad \left( 5\right)

Eliminando s em \left( 2\right), tem-se sucessivamente

h^{2}=a^{2}-\left[ \dfrac{1}{2c}\left( c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) \right] ^{2}

=\dfrac{\left( 2ac+c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) \left( 2ac-c^{2}-a^{2}+b^{2}\right) }{4c^{2}}

=\dfrac{\left( a+b+c\right) \left( a+c-b\right) \left( b+a-c\right) \left( b-a+c\right) }{4c^{2}}

Chamando ao semi-perímetro do triângulo p, vem

a+b+c=2p\qquad \left( 6\right)

a+c-b=2\left( p-b\right)

b+a-c=2\left( p-c\right)

b-a+c=2\left( p-a\right)

e

h^{2}=\dfrac{2p\cdot 2\left( p-b\right) \cdot 2\left( p-c\right) \cdot 2\left( p-a\right) }{4c^{2}}

=\dfrac{4p\left( p-b\right) \left( p-c\right) \left( p-a\right) }{c^{2}}

A altura é então igual a:

h=\dfrac{2}{c}\sqrt{p\left( p-a\right)\left( p-b\right)\left( p-c\right) }\qquad\left( 7\right)

e a área S do triângulo [A,B,C]:

S=\dfrac{ch}{2}=\sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }\qquad\left( \ast\right)

* * *

Neste meu livro de Trigonometria do liceu — CALADO, J., Compêndio de Trigonometria, Ensino Liceal, 3.º ciclo, Empresa Literária Fluminense Lda., Lisboa, 1967 –  deduzia-se esta relação, ao estudar a resolução de triângulos obliquângulos, quando são dados os três lados. Eis uma cópia das páginas relevantes:

Qiaochu Yuan mostra que é possível prová-la, sem usar métodos trigonométricos ou geométricos, no seu post Heron’s formula.

Exemplos de aplicação:

1. Determine a área do triângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5.

Podemos ver que este triângulo é rectângulo. A área pode ser dada por

S=\dfrac{3\times 4}{2}=\dfrac{12}{2}=6

Dado que p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3+4+5}{2}=6, vem, usando a  fórmula de Herão

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}=\sqrt{36}=6

2. Calcule a área do triângulo isósceles de lados 6, 5 e 5.

Como a altura é 4, a área é igual a

S=\dfrac{6\times 4}{2}=12

ou pela fórmula (\ast)

S=\sqrt{8(8-6)(8-5)(8-5)}=\sqrt{2^43^2}=4\times 3=12.

3. Ache a área do triângulo obliquângulo A,B,C cujos lados a,b,c são, respectivamente, iguais a 8,10,12.

Agora temos

p=\dfrac{8+10+12}{2}=15

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)}

=\sqrt{1575}=15\sqrt{7}.

Note que neste caso os comprimentos dos lados do triângulo formam uma progressão aritmética de razão 2.

É logo no primeiro problema (Problema 1.1) do capítulo 1 - Estratégias de resolução de problemas, do livro de Terence Tao Como Resolver Problemas Matemáticos, que o autor considera o caso geral inverso: os comprimentos dos lados formam uma progressão aritmética, e pede-se para determinar os seus lados e ângulos, conhecida a  área do triângulo e a razão da progressão. 

31.05.10: acrescentada dedução geométrica.  

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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