Novo exemplo de demonstração de uma identidade trigonométrica pela introdução de uma variável complexa

Proponho-me demonstrar a seguinte identidade trigonométrica

    2\sin \left( n\alpha \right) \cos \alpha =\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) +\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right)

pelo método de mudança de variável z=e^{i\alpha } explicado anteriormente nesta entrada.  Assim,

\cos \alpha =\dfrac{1}{2}\left( e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right) =\dfrac{1}{2}\left( z+z^{-1}\right)

e, como

\sin \alpha =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z-z^{-1}\right)

vem

\sin \left( n\alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{in\alpha }-e^{-in\alpha}\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z^{n}-z^{-n}\right)

e no primeiro membro

2\sin \left( n\alpha \right) \cos \alpha =2\dfrac{1}{2i}\left( z^{n}-z^{-n}\right) \dfrac{1}{2}\left( z+z^{-1}\right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}\right) .

Quanto ao segundo membro, tem-se

\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\left( n+1\right) \alpha }-e^{-i\left( n+1\right) \alpha }\right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right)

e

\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\left( n-1\right) \alpha }-e^{-i\left( n+1\right) \alpha }\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right)

pelo que

\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) +\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right) +\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right) .

Igualando os dois membros, obtém-se portanto:

\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}\right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right) +\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right)

ou a igualdade equivalente

z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}=z^{n+1}-z^{-n-1}+z^{n-1}-z^{-n-1}

que é uma identidade, provando-se desta forma a inicial.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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7 respostas a Novo exemplo de demonstração de uma identidade trigonométrica pela introdução de uma variável complexa

  1. C. Tavares diz:

    Que bacana este teu blog. Adoro exatas, realmente fascinante.
    Parabens.

  2. CARLOS ALBERTO GUIMARÃES DE SÁ diz:

    O apredizado da trigonometria depende muito da boa vontade dos autores de livros sobre. Dá trabalho, mas cobrem. Claro que para uma ótima explicação sobre o assunto, nos seus pormenores, se faz necessário um passo a passo como se fosse para leigos em virtude de deficiencias do raciocínio lento e de uma base não das melhores de quem deseja aprender a trigonometria. Outra coisa é o tamanho das letras. Letras miudas e cinzas prejudica a visão e provoca sono. Será que não sabem isso ou fazem que não sabem? Isso provoca sono e óculos com lentes de maior aproximação. Pensem nisso. Expliquem como se fosse para leigos e com letras pretas e grandes. Será que custa isso?

    • Sobre o tamanho das letras e símbolos pode ser aumentado através das teclas “Ctrl” e “+”, premidas em simultâneo, uma ou mais vezes. Os símbolos são aqui escritos a preto através do sufixo “&fg=000000″, no fim do código LaTeX.

  3. CARLOS ALBERTO GUIMARÃES DE SÁ diz:

    Falo dos autores de livros de matemática. São letras que leva o aluno ao oculista, ao sono ou ao desânimo. Se gastar mais tinta, cobrem. Eu pago para não gastar com óculos. Portanto é o barato que vai sair muito mais caro.

  4. CARLOS ALBERTO GUIMARÃES DE SÁ diz:

    Outra coisa, aproveitando a ocasião, não entendo a razão de resolverem as equações e não deixarem rastro de como resolveram. Pulam de uma solução para outra sem que deixem pistas convicentes para uma solução que venhamos entender. Não é que não saibam resolver, falo de uma solução passo a passo, a exemplo da série para leigos. Embora não sejamos leigos, mas seria uma ajuda para que possamos entender de forma convicente e sem cansar a visão.

  5. santos diz:

    código-LaTeX eu acho que deveriam fazer as demonstracões de forma que a sua interpretação não se tornasse tão dificil

    • Carlos Alberto Guimarães de Sá diz:

      O fato é que os autores de livros diversos, com raras exceções, publicam com letras ou números pequenos, possivelmente para que saia mais em conta, todavia, prejudica a visão, tanto para quem ainda não faz o uso de óculos, como para quem depende deles. Quanto aos livros de ciências exatas, ocorre duas coisas, tamanho das letras e números, bem como a explicação mais compreensível dos resultados obtidos. Talvez se torne cansativo, mas adianta e muito a compreensão. Ultimamente, parecem que estão levando em conta nossos argumentos com livros, embora maiores, mas compreensíveis. Isso é muito bom e agradeço.

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