9 Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos

Posted on Março 2, 2010 por Américo Tavares

Agrupo aqui todos os Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos de todos os níveis.

(a) Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}$

é convergente / converges.

25.05.10: corrigida a função integranda/integrand function corrected. Deve ser/Should be

$\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}$

em vez de/instead of

$\dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}$ .

Resolução/Solution (25-05-10)

(b) 1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

Prove que/prove that

$\zeta \left( 2\right) =\dfrac{p}{q}\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\arctan (x)\,d\left( \arctan (x)\right)$ ,

where/em que $(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}$ .

(c) Sobre a natureza aritmética da soma e diferença de π (pi, a constante de Arquimedes) e e (constante ou número de Euler)

Sabe por que motivo é que a soma $s=\pi+e$ e a diferença $d=\pi-e$ não podem ser simultaneamente números algébricos?

Se não sabe, não consegue descobrir por si, e quer saber, veja no artigo recente Mathematical Embarassments, do Prof. Dick Lipton a explicação em três linhas (ou menos). Quanto a ambos ( $s$ e $d$ ) serem transcendentes, desconhece-se. Isto é uma questão matemática “embaraçosa”, na opinião do autor do blogue Gödel’s Lost Letter and P=NP.

(d) Three gamma function identities

Let $n=1,2,\ldots$ . Show that

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n+1)=2^{2n}\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \Gamma (n+1)\qquad\left( 1\right)$

and

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n)=2^{2n-1}\Gamma (n)\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 2\right)$ .

Let $x\in\mathbb{R}$ . If $x>0$ , show that

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2x)=2^{2x-1}\Gamma (x)\Gamma\left( x+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 3\right)$ .

Hints: for the first two identities use the formula proved here. As for the last one evaluate the beta function value B $(x,x)$ and by means of an appropriate change of variable find a relation between B $(x,x)$ and B $\left(x,\dfrac{1}{2}\right)$ .

(e) Exercício rotineiro, mas trabalhoso, sobre extremos (máximos e mínimos) de uma função trigonométrica

Determine os valores máximos e mínimos assumidos pela função trigonométrica periódica

$f(t)=\left( \cos t+2\sin t\right) ^{2}+\left( 3\cos t+2\sin t\right) ^{2}$ ,

representada no gráfico, no intervalo $\left[ -\pi ,\pi \right] .$

Passos de uma possível resolução:

1 – Desenvolver $f(t)$ e obter

$f(t)=16\cos t\sin t+10\cos^{2}t+8\sin^{2}t$ .

2 – Calcular a derivada de $f(t)$ : $f^{\prime}(t)=16\cos 2t-2\sin 2t$ .

3 – Resolver a equação $f^{\prime}(t)=0$ e obter as soluções

$t\in\left\{ \dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{k\pi }{2}:k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

4 – Observar o andamento da função no gráfico ou, em alternativa, estudar a variação de sinal da derivada da função.

5 – Concluir que o seu máximo é $f\left( t_{\max }\right)$ e o mínimo $f\left( t_{\min }\right)$ , em que

$t_{\max }=\dfrac{\arctan 8}{2}+k\pi$

$t_{\min }=\dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi$ .

(f) Problema não resolvido sobre triângulos e outros polígonos de área máxima inscritos numa circunferência

Mostre que de todos os possíveis triângulos inscritos na circunferência $x^2+y^2=r^2$ os de maior área são os equiláteros. Se um dos vértices tiver coordenadas $\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right)$ , quais são as dos outros dois?

Generalize para um polígono de $n$ lados.

(g) Dois Problemas não resolvidos: Transformada de Fourier e Função de Bessel

PROBLEMA 1

1. Calcule a transformada de Fourier da função

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin x\qquad x\in\lbrack 0,\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,\pi\rbrack\end{array}\right.$

2. A partir da transformada do ponto anterior obtenha a transformada da função:

$g(x)=\left\{\begin{array}{c}|\sin x|\qquad x\in\lbrack 0,4\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,4\pi\rbrack\end{array}\right.$

3. As funções $f$ e $g$ pertencem à classe das funções contínuas num intervalo $\lbrack a ,b\rbrack$ e nulas fora deste intervalo. Mostre que as funções desta classe possuem transformada de Fourier.

4. Diga se a transformação inversa de Fourier é válida para as funções do ponto 3. Justifique.

PROBLEMA 2

A função de Bessel de ordem zero $J_0(x)$ satisfaz a equação integral

$\displaystyle\int_{0}^{x}J_0(y)J_0(x-y)\; dy=\sin x$

1. Calcule a sua transformada de Laplace.

2. Determine $J_0(0^+)$ e $J_{0}^{^{\prime }}(0^{+})$ (considere $J_0(0^+)>0$ .

3. Obtenha o desenvolvimento de $J_0(x)$ em série de potências de $x$ .

(h) Duas questões de Análise Complexa

Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

http://echoone.wordpress.com/,

entrada

Introductory Complex Analysis Final

(tradução e adaptação do inglês).

« (…) Demonstre que as equações de Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

$u_r=\dfrac{v_\theta}{r}$

$v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}$

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(…) Determine o valor de

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx$ (…) »

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(i) Integrais impróprios; a função gama

(…)

PROBLEMA: mostre que a função gama

$\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt$

é convergente se e só se $x>0$ . Integre por partes e obtenha a relação

$\Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\qquad (x>0)$

e verifique que $\Gamma (1)=1$ , pelo que

$\Gamma (n+1)=n!$ .

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer

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8 respostas a 9 Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos

Prof. Paulo Sérgio diz:

Março 2, 2010 às 10:32 pm

Uma pequena contribuição:

Seja $f(z)=u+iv$ , satisfazendo $u_{x}=v_{y}$ e $u_{y}=-v_{x}$ .

Sendo

$u=u(x,y)$ , $v=v(x,y)$ ,

$x=x(r,\theta )=r\cos \theta$ e $y=y(r,\theta )=r\sin \theta$ .

Assim,

$u_{r}=u_{x}x_{r}+u_{y}y_{r}=u_{x}\cos \theta +u_{y}\sin \theta$

$=v_{y}\cos \theta -v_{x}\sin \theta =\dfrac{v_{y}r\cos \theta +v_{x}\left( -r\sin \theta \right) }{r}$

$=\dfrac{v_{\theta }}{r}$

A outra é análoga.

[LaTeX editado, Américo Tavares]

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  Março 3, 2010 às 10:18 am
  
  Editei o LaTeX.
  
  Obrigado, Prof. Paulo Sérgio pela sua contribuição.
  
  5.03.10: Nota sobre a notação aqui utilizada para as derivadas parciais
  
  Exemplo: $u_{x}=\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}$
- Prof. Paulo Sérgio diz:
  
  Março 3, 2010 às 3:54 pm
  
  Gostei das questões e obrigado por transcrever a resolução. Realmente eu esqueci de colocar dx. Observei que a primeira equação que você escreveu, precisa correção. Para saber mais sobre o assunto, vejam estes posts no meu blog
  
  http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/08/transformadas-de-laplace-e-integrais.html
- Américo Tavares diz:
  
  Março 3, 2010 às 4:16 pm
  
  Obrigado pela identificação dos posts, no seu blog, que tratam precisamente deste tipo de aplicações da transformada de Laplace.
  
  Já corrigi o primeiro integral transcrito (por mero acaso coloquei erradamente, no denominador da função integranda, $dx$ ).
  
  PS. Estava à espera do cálculo do integral pelo método dos resíduos, daí a minha classificação, destas questões, na categoria “Análise complexa”, questões essas de um exame dessa disciplina, como escrevi (Introductory Complex Analysis Final).
  
  PPS. Ainda voltei a corrigir o denominador do primeiro integral, de $x$ para $x^2$ .
Prof. Paulo Sérgio diz:

Março 2, 2010 às 10:54 pm

A resolução da integral está neste link.

http://img63.imageshack.us/img63/7049/integrald.png

–

Transcrição:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}x}{x^2}dx=\dfrac{\pi }{2}$ .

De fato,

$\dfrac{1}{s^{2}}=\mathcal{L}\{x\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx$ .

Assim,

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=$ $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}x\sin ^2 s\;dx\,ds$ $=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}\sin ^{2}s\;ds\right) dx$

Sendo

$\sin ^{2}s=\dfrac{1-\cos 2s}{2}$ ,

temos:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x\left[ \mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\cos \left( 2s\right) \}\right] dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+4}\right) dx$

Logo,

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left( \dfrac{4}{x^{2}+4}\right) dx=$ $\arctan \left. \left( \dfrac{x}{2}\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\dfrac{\pi }{2}$

[3.03.10: corrigido primeiro integral, $x^2$ em vez de $x$ no denominador A. Tavares]

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  Março 3, 2010 às 12:39 am
  
  Prof. Paulo Sérgio
  
  Transcrevi o cálculo do integral (fechei o $]$ e acrescentei $dx$ ). Espero não me ter enganado.
  
  Não esperava que a resolução fosse esta: com a transformada de Laplace!
  
  Nota de 5.03.10: A transformada de Laplace de uma função $F\left( t\right)$ , definida para $t>0$ , é o integral
  
  $\mathcal{L}\left\{ F\left( t\right) \right\} =f\left( s\right) =\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-st}F\left( t\right) \;dt$
- Prof. Paulo Sérgio diz:
  
  Março 3, 2010 às 7:38 pm
  
  Também é possível resolver pela técnica de Resíduos, que aliás é uma ferramenta muito mais abrangente. O problema desta técnica é definir um contorno no plano z e também mostrar que certas integrais tendem a zero quando um certo R -> infinito, ficando extensa a resolução. Preferi o uso das transformadas de Laplace por ser inteiramente algébrico e sem muito conhecimento refinado da teoria.
- Américo Tavares diz:
  
  Março 3, 2010 às 8:36 pm
  
  Exacto, esse é o problema principal da técnica dos resíduos.
  
  Acabei de consultar dois livros diferentes que apresentam o cálculo por esse método, não do integral deste problema, mas do integral
  
  $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}$
  
  e o valor é o mesmo, o que é curioso.
  
  Ainda tive de corrigir o denominador do primeiro integral!
  
  PS. de 4.03.10: Neste post do Gaussianos, josejuan esclarece:
  
  « (…) es por el límite al infinito, la primera integral (indefinida) queda como Si $\left( x\right)$ mientras que la segunda queda
  como
  
  $\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}$
  
  al evaluar tanto en cero como en +inf dan lo mismo. »
  
  Respondi-lhe, fazendo os seguintes cálculos auxiliares (dos limites):
  
  « $\left. \dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty }$ $=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}$
  
  $=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{1}{2x}$
  
  $-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{1}{2x}$
  
  $=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) +0-0-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) -0+0$
  
  $=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right)$
  
  e
  
  $\left. \text{Si}\left( x\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( x\right)$
  
  e ainda
  
  $\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( x\right)$
  
  $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) =\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( x\right)$
  
  De facto
  
  $\left. \dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty }=\left. \text{Si}\left( x\right) \right\vert_{0}^{\infty }$ »
  
  Claro que isto pressupõe que se determinem previamente as primitivas (os integrais) indicada(o)s.
  
  Nota:
  
  O seno integral é a função
  
  $\text{Si}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\sin t}{t}dt$

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