9 Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos

Agrupo aqui todos os Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos de todos os níveis.

(a)  Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}

é convergente / converges.

25.05.10: corrigida a função integranda/integrand function corrected. Deve ser/Should be

 \dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}

 em vez de/instead of

 \dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}.

Resolução/Solution (25-05-10)

(b)  1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

Prove que/prove that

\zeta \left( 2\right) =\dfrac{p}{q}\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\arctan (x)\,d\left( \arctan (x)\right) ,

where/em que  (p,q)\in\mathbb{Z}^{2}.

(c)  Sobre a natureza aritmética da soma e diferença de π (pi, a constante de Arquimedes) e e (constante ou número de Euler)

Sabe por que motivo é que a soma s=\pi+e e a diferença d=\pi-e não podem ser simultaneamente números algébricos?

Se não sabe, não consegue descobrir por si, e quer saber, veja no artigo recente Mathematical Embarassments, do Prof. Dick Lipton a explicação em três linhas (ou menos). Quanto a ambos (s d) serem transcendentes, desconhece-se. Isto é uma questão matemática “embaraçosa”, na opinião do autor do blogue Gödel’s Lost Letter and P=NP.

(d)  Three gamma function identities 

Let n=1,2,\ldots  . Show that

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n+1)=2^{2n}\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \Gamma (n+1)\qquad\left( 1\right)

and

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n)=2^{2n-1}\Gamma (n)\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 2\right) .

Let x\in\mathbb{R}. If x>0, show that

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2x)=2^{2x-1}\Gamma (x)\Gamma\left( x+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 3\right) .

Hints: for the first two identities use the formula proved here. As for the last one evaluate the beta function value B(x,x) and by means of an appropriate  change of variable find a relation between B(x,x) and B\left(x,\dfrac{1}{2}\right) .

(e)  Exercício rotineiro, mas trabalhoso, sobre extremos (máximos e mínimos) de uma função trigonométrica

Determine os valores máximos e mínimos assumidos pela função  trigonométrica periódica

 f(t)=\left( \cos t+2\sin t\right) ^{2}+\left( 3\cos t+2\sin t\right) ^{2},

 representada no gráfico, no intervalo \left[ -\pi ,\pi \right] .

ftextremos

Passos de uma possível resolução:

1 – Desenvolver f(t) e obter

f(t)=16\cos t\sin t+10\cos^{2}t+8\sin^{2}t.

2 – Calcular a derivada de f(t)f^{\prime}(t)=16\cos 2t-2\sin 2t.

3 – Resolver a equação f^{\prime}(t)=0 e obter as soluções

  t\in\left\{ \dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{k\pi }{2}:k\in\mathbb{Z}\right\} .

4 – Observar o andamento da função  no gráfico ou, em alternativa, estudar a variação de sinal da derivada da função.

5 – Concluir que o seu máximo é  f\left( t_{\max }\right) e o mínimo f\left( t_{\min }\right) , em que

t_{\max }=\dfrac{\arctan 8}{2}+k\pi

 e

 t_{\min }=\dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi .

(f)  Problema não resolvido sobre triângulos e outros polígonos de área máxima inscritos numa circunferência

Mostre que de todos os possíveis triângulos inscritos na circunferência x^2+y^2=r^2 os de maior área são os equiláteros. Se um dos vértices tiver coordenadas \left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) , quais são as dos outros dois?

Generalize para um polígono de n lados.

(g)   Dois Problemas não resolvidos: Transformada de Fourier e Função de Bessel

PROBLEMA 1

1. Calcule a transformada de Fourier da função

f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin x\qquad x\in\lbrack 0,\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,\pi\rbrack\end{array}\right.

2. A partir da transformada do ponto anterior obtenha a transformada da função:

g(x)=\left\{\begin{array}{c}|\sin x|\qquad x\in\lbrack 0,4\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,4\pi\rbrack\end{array}\right.

3. As funções f e g pertencem à classe das funções contínuas num intervalo \lbrack a ,b\rbrack e nulas fora deste intervalo. Mostre que as funções desta classe possuem transformada de Fourier.

4. Diga se a transformação inversa de Fourier é válida para as funções do ponto 3. Justifique.

PROBLEMA 2

A função de Bessel de ordem zero J_0(x) satisfaz a equação integral

\displaystyle\int_{0}^{x}J_0(y)J_0(x-y)\; dy=\sin x

1. Calcule a sua transformada de Laplace.

2. Determine J_0(0^+) e J_{0}^{^{\prime }}(0^{+}) (considere J_0(0^+)>0.

3. Obtenha o desenvolvimento de J_0(x) em série de potências de x

(h)    Duas questões de Análise Complexa

Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

 http://echoone.wordpress.com/,

 entrada

 Introductory Complex Analysis Final

 (tradução e adaptação do inglês).

« (…) Demonstre que as equações de  Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

u_r=\dfrac{v_\theta}{r}

e

v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(…) Determine o valor de

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx  (…) »

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(i)  Integrais impróprios; a função gama

(…)

PROBLEMA: mostre que a função gama

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt

é convergente se e só se x>0. Integre por partes e obtenha a relação

\Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\qquad (x>0)

e verifique  que \Gamma (1)=1, pelo que

\Gamma (n+1)=n!.

 

 

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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8 respostas a 9 Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos

  1. Uma pequena contribuição:

    Seja f(z)=u+iv, satisfazendo u_{x}=v_{y} e u_{y}=-v_{x}.

    Sendo

    u=u(x,y), v=v(x,y),

    x=x(r,\theta )=r\cos \theta e y=y(r,\theta )=r\sin \theta .

    Assim,

    u_{r}=u_{x}x_{r}+u_{y}y_{r}=u_{x}\cos \theta +u_{y}\sin \theta

    =v_{y}\cos \theta -v_{x}\sin \theta =\dfrac{v_{y}r\cos \theta +v_{x}\left( -r\sin \theta \right) }{r}

    =\dfrac{v_{\theta }}{r}

    A outra é análoga.

    [LaTeX editado, Américo Tavares]

    • Editei o LaTeX.

      Obrigado, Prof. Paulo Sérgio pela sua contribuição.

      5.03.10: Nota sobre a notação aqui utilizada para as derivadas parciais

      Exemplo: u_{x}=\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}

    • Gostei das questões e obrigado por transcrever a resolução. Realmente eu esqueci de colocar dx. Observei que a primeira equação que você escreveu, precisa correção. Para saber mais sobre o assunto, vejam estes posts no meu blog

      http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/08/transformadas-de-laplace-e-integrais.html

    • Obrigado pela identificação dos posts, no seu blog, que tratam precisamente deste tipo de aplicações da transformada de Laplace.

      Já corrigi o primeiro integral transcrito (por mero acaso coloquei erradamente, no denominador da função integranda, dx).

      PS. Estava à espera do cálculo do integral pelo método dos resíduos, daí a minha classificação, destas questões, na categoria “Análise complexa”, questões essas de um exame dessa disciplina, como escrevi (Introductory Complex Analysis Final).

      PPS. Ainda voltei a corrigir o denominador do primeiro integral, de x para x^2.

  2. A resolução da integral está neste link.

    http://img63.imageshack.us/img63/7049/integrald.png

    Transcrição:

    \displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}x}{x^2}dx=\dfrac{\pi }{2}.

    De fato,

    \dfrac{1}{s^{2}}=\mathcal{L}\{x\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx.

    Assim,

    \displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds= \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}x\sin ^2 s\;dx\,ds =\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}\sin ^{2}s\;ds\right) dx

    Sendo

    \sin ^{2}s=\dfrac{1-\cos 2s}{2},

    temos:

    \displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x\left[ \mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\cos \left( 2s\right) \}\right] dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+4}\right) dx

    Logo,

    \displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left( \dfrac{4}{x^{2}+4}\right) dx= \arctan \left. \left( \dfrac{x}{2}\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\dfrac{\pi }{2}

    [3.03.10: corrigido primeiro integral, x^2 em vez de x no denominador A. Tavares]

    • Prof. Paulo Sérgio

      Transcrevi o cálculo do integral (fechei o ] e acrescentei dx). Espero não me ter enganado.

      Não esperava que a resolução fosse esta: com a transformada de Laplace!

      Nota de 5.03.10: A transformada de Laplace de uma função F\left( t\right) , definida para t>0, é o integral

      \mathcal{L}\left\{ F\left( t\right) \right\} =f\left( s\right) =\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-st}F\left( t\right) \;dt

    • Também é possível resolver pela técnica de Resíduos, que aliás é uma ferramenta muito mais abrangente. O problema desta técnica é definir um contorno no plano z e também mostrar que certas integrais tendem a zero quando um certo R -> infinito, ficando extensa a resolução. Preferi o uso das transformadas de Laplace por ser inteiramente algébrico e sem muito conhecimento refinado da teoria.

    • Exacto, esse é o problema principal da técnica dos resíduos.

      Acabei de consultar dois livros diferentes que apresentam o cálculo por esse método, não do integral deste problema, mas do integral

      \displaystyle\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}

      e o valor é o mesmo, o que é curioso.

      Ainda tive de corrigir o denominador do primeiro integral!

      PS. de 4.03.10: Neste post do Gaussianos, josejuan esclarece:

      « (…) es por el límite al infinito, la primera integral (indefinida) queda como Si\left( x\right) mientras que la segunda queda
      como

      \dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}

      al evaluar tanto en cero como en +inf dan lo mismo. »

      Respondi-lhe, fazendo os seguintes cálculos auxiliares (dos limites):

      « \left. \dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty } =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}

      =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{1}{2x}

      -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{1}{2x}

      =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) +0-0-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) -0+0

      =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right)

      e

      \left. \text{Si}\left( x\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( x\right)

      e ainda

      \underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\text{ Si}\left( x\right)

      \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( 2x\right) =\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\text{ Si}\left( x\right)

      De facto

      \left. \dfrac{2x\text{ Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty }=\left. \text{Si}\left( x\right) \right\vert_{0}^{\infty } »

      Claro que isto pressupõe que se determinem previamente as primitivas (os integrais) indicada(o)s.

      Nota:

      O seno integral é a função

      \text{Si}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\sin t}{t}dt

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