Problema do mês :: Problem of the month #4. (Integral impróprio :: Improper integral). Resolução :: Solution

ver/see Problema do mês Problem of the month

Problema

Prove ou infirme:

Solução de Prof. Paulo Sérgio

Para calcular esta integral, note que

Assim,

Invertendo a ordem de integração e usando a definição de transformada de Laplace, temos:

ou seja,

.

Outra resolução: fatima

* * *

Problem

Prove or disprove: .

 

Solution by Prof. Paulo Sérgio

To evaluate this integral note that

Hence,

By reversing the order of integration and using the definition of the Laplace transform we get:

therefore,

.

Other Solver: fatima

Solução do Desafio — área entre círculos :: Challenge solution — area between circles

Enunciado do desafio :: Challenge Statement

Tem cinco moedas iguais, cada uma a tocar nas duas adjacentes. No espaço que fica no meio coloca uma moeda tangente às cinco.

Qual é a área total entre as moedas em função do diâmetro das maiores?

Five equal coins are placed in such a way that each of them is tangent to the two adjacents ones. Another coin tangent to those five is put in the centre.

Find the total area between the coins as a function of the diameter of each one of the outer five.

* * *

Transcrição com diferente formatação (em LaTeX) da Resolução de RSCS publicada no blogue Simplesmente porque sim . . . :  [corrigido autor da solução]

Transcription in a different format (using LaTeX) and translation by myself of the Solution by RSCS posted in the blog Simplesmente porque sim . . . :  [solver corrected] 

Área do pentágono / Area of the pentagon

Área do círculo / Area of the circle

[Soma dos] ângulos internos do pentágono: / [Sum of the] pentagon internal angles:

Raio da moeda mais pequena / Radius of the small coin

Área do círculo pequeno / Area of the small circle

Área Final / Final Area

* * *

Uma nota minha: Substituindo os resultados parciais na área final indicada na resolução, obtive, em função de , para a área pedida:

A note of mine: Replacing the parcial results into the final area indicated in the above solution, I got the requested area as a function of :

ou seja / i. e.

Usei, entre outras relações, esta / Among others I used this identity:

Desafio: área entre círculos :: Challenge: area between circles

Tem cinco moedas iguais, cada uma a tocar nas duas adjacentes. No espaço que fica no meio coloca uma moeda tangente às cinco.

Qual é a área total entre as moedas em função do diâmetro das maiores?

Five equal coins are placed in such a way that each of them is tangent to the  two adjacents ones. Another coin  tangent to those five is put in the centre.

Find the total area between the coins as a function of the diameter of each one of the outer five.

 

Figura auxiliar / Auxiliar figure

 Neste caso o $0.05 não é bem tangente aos €0.50. 

In this case the $0.05 coin is not quite tangent to the  five €0.50 coins. 

Imagine que as moedas eram círculos ideais, tangentes 3 a 3, excepto o central a 5.

Suppose all the coins are ideal circles arranged so that each  is tangent to  3 , except the central one which is tangent to the other 5.

 

P.S. English text edited.

Fórmula de Herão da área de um triângulo obliquângulo

Considere-se o seguinte triângulo de vértices (ângulos internos )  e lados .

 

A fórmula de Herão da área  de um triângulo é:

 

em que  é o semiperímetro do triângulo:

Dedução:

Seja a altura do triângulo traçada sobre o lado . O ponto , projecção do vértice sobre o lado , divide-o em dois segmentos e tais que . O teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo traduz-se em

e aplicado ao triângulo em

Ora pelo que

Substituindo e em vem:

donde

Eliminando em , tem-se sucessivamente

Chamando ao semi-perímetro do triângulo , vem

e

A altura é então igual a:

e a área do triângulo :

* * *

Neste meu livro de Trigonometria do liceu — CALADO, J., Compêndio de Trigonometria, Ensino Liceal, 3.º ciclo, Empresa Literária Fluminense Lda., Lisboa, 1967 –  deduzia-se esta relação, ao estudar a resolução de triângulos obliquângulos, quando são dados os três lados. Eis uma cópia das páginas relevantes:

Qiaochu Yuan mostra que é possível prová-la, sem usar métodos trigonométricos ou geométricos, no seu post Heron’s formula.

Exemplos de aplicação:

1. Determine a área do triângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5.

Podemos ver que este triângulo é rectângulo. A área pode ser dada por

Dado que , vem, usando a  fórmula de Herão

2. Calcule a área do triângulo isósceles de lados 6, 5 e 5.

Como a altura é 4, a área é igual a

ou pela fórmula ()

.

3. Ache a área do triângulo obliquângulo cujos lados são, respectivamente, iguais a .

Agora temos

.

Note que neste caso os comprimentos dos lados do triângulo formam uma progressão aritmética de razão 2.

É logo no primeiro problema (Problema 1.1) do capítulo 1 - Estratégias de resolução de problemas, do livro de Terence Tao Como Resolver Problemas Matemáticos, que o autor considera o caso geral inverso: os comprimentos dos lados formam uma progressão aritmética, e pede-se para determinar os seus lados e ângulos, conhecida a  área do triângulo e a razão da progressão. 

31.05.10: acrescentada dedução geométrica.  

1.º Prémio do Milénio atribuído a Perelman pela Resolução da Conjectura de Poincaré

Actualização de 21.07.10: Perelman recusou o prémio, segundo um comunicado do CMI, noticiado, entre nós, pelo Público de 01.07.2010 – 18:11.

Em 18 deste mês o Clay Mathematics Institute (CMI) anunciou a atribuição ao Dr. Grigoriy Perelman (ou Grigori Perelman),  St. Petersburg, Rússia,   do Prémio pela Resolução da Conjectura de Poincaré, o primeiro dos Problemas do  Milénio a ser resolvido.

http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/HSpace2.jpg

“ The Clay Mathematics Institute hereby awards the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture to Grigoriy Perelman.

(…)

The Poincaré conjecture is one of the seven Millennium Prize Problems established by CMI in 2000. The Prizes were conceived to record some of the most difficult problems with which mathematicians were grappling at the turn of the second millennium; to elevate in the consciousness of the general public the fact that in mathematics, the frontier is still open and abounds in important unsolved problems; to emphasize the importance of working towards a solution of the deepest, most difficult problems; and to recognize achievement in mathematics of historical magnitude. “
   
   Press Release  
   

* * *

Actualização: em dailymail.co.uk, no artigo World’s cleverest man turns down $1million prize after solving one of mathematics’ greatest puzzles, de Will Stewart, Last updated at 11:32 AM on 23rd March 2010, lê-se: “A Russian awarded $1million (£666,000) for solving one of the most intractable problems in mathematics said yesterday that he does not want the money.”

Nova actualização (25.03.10, 0.23 AM) – lê-se num comentário de ontem ao artigo do dailymail.co.ok :

“There are reports this morning saying that Dr. Perelman has not in fact turned down the prize; he just hasn’t decided.”  

* * *

ICM2006 (em Madrid): em 2006 foi-lhe atribuída a Medalha Fields [recusada].

(vídeo [ver item "2006 Fields Medals announcements"]  ou em ICM 2006 – 1 ano depois, do blogue Lost …)

(vídeo sobre o trabalho de Perelman ver idem Laudationes: The work of Grigori Perelman – John Lott)

 

International Congress of Mathematicians Madrid 2006 Fields Medals announcements

“ Fields Medal:

Grigory Perelman

CITATION: “For his contributions to geometry and his revolutionary insights into the analytical and “geometric structure of the Ricci flow”

The name of Grigory Perelman is practically a household word among the scientifically interested public. His work from 2002-2003 brought groundbreaking insights into the study of evolution equations and their singularities.

Most significantly, his results provide a way of resolving two outstanding problems in topology: the Poincare Conjecture and the Thurston Geometrization Conjecture. As of the summer of 2006, the mathematical community is still in the process of checking his work to ensure that it is entirely correct and that the conjectures have been proved. After more than three years of intense scrutiny, top experts have encountered no serious problems in the work.

For decades the Poincaré Conjecture has been considered one of the most important problems in mathematics. The conjecture received increased attention from the general public when it was named as one of the seven Millennium Prize Problems established by the Clay Mathematics Institute in 2000. The institute has pledged to award a prize of one-million US dollars for the solution of each problem. The work of Perelman on the Poincaré Conjecture is the first serious contender for one of these prizes.   “

P.S. Em Dezembro 13, 2007 publiquei umas notas que tomei da conferência do Prof. Marcelo Viana em 12.12.07, na Gulbenkian, sobre a conjectura de Poincaré e Perelman.

[23.03.10: editado para completar, actualizar  e melhorar o texto] 

Solução do Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Solution to the Challenge: Find the general term of a sequence

Enunciado do Desafio/Challenge Statement

Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?

E o termo de ordem ? / And its   term?

Adenda/Addendum

Nota: os termos são fracções reduzidas.

Remark: every term of the sequence is a  fraction in its lowest terms.

    Solução/Solution

O termo geral da sucessão é/The sequence general term is:

   

mas expresso como fracção reduzida  [gcd (greatest common divisor) é o m.d.c. ou mdc  (máximo divisor comum)]/but written as a  fraction in its lowest terms 

  

 

 

Em PARI/GP obtém-se com/With this line of code in PARI/GP

        for(n=1,20,print(n ” : ” ((n-1)!/(2^(n+1)))))

isto / we get

    1 : 1/4
    2 : 1/8
    3 : 1/8
    4 : 3/16
    5 : 3/8
    6 : 15/16
    7 : 45/16
    8 : 315/32
    9 : 315/8
    10 : 2835/16
    11 : 14175/16
    12 : 155925/32
    13 : 467775/16
    14 : 6081075/32
    15 : 42567525/32
    16 : 638512875/64
    17 : 638512875/8
    18 : 10854718875/16
    19 : 97692469875/16
    20 : 1856156927625/32
   
   

Assim o sexto é/Hence the 6th term is

 e o vigésimo/and the 20th,

.

   
O leitor d3r4z descobriu o 6.º temo aqui / The reader d3r4z found the 6th term here

– 24.03.10 –  acrescentado / added

Primos em Python/A Python script for computing primes

A função seguinte – primes(N),  em Python, no ambiente IDLE 2.6.4 (*), –  gera duas listas de números  para  calcular e apresentar os números primos até N.  

>>> def primes(N):
               x, y = [0]*(N+2), [0]*(N+1)
               x[1], p = 1, 2
               x_p = 1   
               while p <= N:      
                      print p,           
                      for m in range(1,N/p+1):  
                              if x[m] != 0:   
                                     x[m*p] = x[m] * x_p    
                      while x[p] != 0:            
                      y[p] = y[p-1] + x[p]
                      p += 1 

ou com comentários para melhor compreensão do script         

>>> def primes(N):
    # Define two arrays
    # x_0, x_1, . . . , x_{N+1}          
    # and y_0, y_1, . . . , y_N
    # and initialize them
    # x_0, x_1, . . . = 0,1,0,0,0, . . .
    # and y_0, y_1, . . . = 0,0,0,0, . . .
         x, y = [0]*(N+2), [0]*(N+1)
         x[1], p = 1, 2
         x_p = 1       # Set x_p = 1
         while p <= N: # Find the smallest p such that        
            print p,   # x_p = 0
            for m in range(1,N/p+1): # For every m such that
                    if x[m] != 0:    # x_m does not equal 0,
                           x[m*p] = x[m] * x_p  # set x_{m*p} 
            while x[p] != 0:         # = x_m times x_p       
            y[p] = y[p-1] + x[p]
            p += 1     # Add 1 to p

   
Por exemplo, até N=1000:

>>> primes(1000)
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

(*) Do Glossary de Python v2.6.4 documentation: IDLE “An Integrated Development Environment for Python. IDLE is a basic editor and interpreter environment which ships with the standard distribution of Python. Good for beginners, it also serves as clear example code for those wanting to implement a moderately sophisticated, multi-platform GUI application.”

P.S. Este script é uma modificação ao de  Alec Edgington neste comentário (em resposta a uma ideia de Tim Gowers.)

P.P.S. como explico aqui.

Adenda de 22.03.10:

Exercício: qual é o número primo mais próximo de 100000? Antes é o 99991 e depois, 100003, logo 100003 é o mais próximo.

Na próxima centena de milhar é . . . 199999 , o seguinte é 200003.

Intel Science Talent Search 2010 Winners

(via Return to Mount Bourbaki,  Akhil Mathew,  Climbing Mount Bourbaki )

 

        Intel Corporation News Release

First place: “ Erika DeBenedictis, 18, of Albuquerque, N.M., (…) for her project developing a software navigation system to help improve spacecraft travel through the solar system. Erika’s research found that the gravity and movement of planets create “easy transit routes,” which will ultimately help spacecraft move faster and with less fuel.

Second place: David Liu, 18, of Saratoga, Calif., (…) for his work to develop a system to recognize and understand digital images. David’s work has already been used to examine aerial images to identify hazards to buried oil pipelines and could also be used to enable unmanned aerial vehicles and Web-based image searches.

Third place: Akhil Mathew, 18, of Madison, N.J., (…) for his math project on Deligne categories, a setting for studying a wide range of algebraic structures with ties to theoretical physics.

(…)

Other top honors from the competition include:

Fourth place: Lynnelle Ye, 18, Palo Alto, Calif., (…) for her project that provided strategies for winning at a computer game titled “Graph Chomp.”

Fifth place: Eric Brooks, 16, Hewlett, N.Y., (…) for his research studying racial genetic factors that may affect the spread of prostate cancer.

Sixth place: John Capodilupo, 18, of Grand Rapids, Mich., (…) for his project that used cluster analysis of objects in the night sky to study the structure and evolution of the early universe.

Seventh place: Benjamen Sun, 17, of Grand Forks, N.D., (…) for his work studying how sand, dust and other debris on city streets can adsorb pollutants from rain and, thus, contaminate city water sources.

Eighth place: Katherine Rudolph, 18, of Naperville, Ill., (…) for her math project that investigated dense packing of identical spheres, the results of which can be used in fields from chemistry to cryptology.

Ninth place: Yale Fan, 18, of Beaverton, Ore., (…) for his research that demonstrated the advantages of quantum computing in performing difficult computations.

Tenth place: Linda Zhou, 18, of River Edge, N.J., (…) for her project that researched how to reverse drug resistance in breast cancer cells.

(…)

The Intel Science Talent Search encourages students to tackle challenging scientific questions and develop the skills necessary to solve the problems of tomorrow. Over the past 68 years, Science Talent Search finalists have gone on to win seven Nobel Prizes, two Fields Medals, three National Medals of Science and 11 MacArthur Foundation Fellowships.

(…) “

   

Relação de recorrência, recursiva ou equação às diferenças associada ao logaritmo de dois (ln 2)

As relações de recorrência associadas a são:

e

em que, e , podendo demonstrar-se  [1, secção 3] que

.

A fórmula explícita da sucessão , — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por:

pelo que

e

Vamos mostrar que verifica .

Escrevendo

será

Assim

 

 

Substituindo agora  e na relação de recorrência, vem

 

donde

 

 

 

que é uma soma telescópica em . Prosseguindo, tem-se

porque . Mas

pelo que basta verificar que

é  uma identidade, o que deixo ao cuidado dos meus leitores.

__________

[1] Eric Reyssat, Irrationalité de selon Apéry, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres) 20e année, 1978/79, nº 6, 6 p.

P.S: retirei uma igualdade desnecessária para esta demonstração e acrescentei [1].

Dia do pai

                          _1_ | _7_
                            7   |   7
       7 3
      5, 2
_______
    1 4 6
3  6 5
_______
3 7 9, 6

2009 Putnam results

De ontem (via Qiaochu Yuan,  Annoying Precision ):

 Art of Problem Solving, Dr. Kent Merryfield    

[   Birch & Swinnerton Dyer ], Fri Mar 18, 2010: 

    
   “ Team ranks:

    1. MIT (Qingchun Ren, Bohua Zhan, Yufei Zhao)

    2. Harvard (Iurie Borieco, Arnav Tripathy, Alex Zhai)

    3. Caltech (Jason Bland, Sam Elder, Gjergji Zaimi)

    4. Stanford (Young Hun Jung, Seok Hyeung Lee, Jeffrey Wang)

    5. Princeton (Peter Diao, Adam Hesterberg, John Parton)

 
    Honorable mention:

    Duke

    U. of Maryland

    U. of Toronto

    U. of Virginia

    U. of Waterloo

 
    Putnam Fellows (in alphabetical order):

    William Johnson, U. of Washington (Seattle)

    Xiaosheng Mu, Yale

    Qingchun Ren, MIT

    Arnav Tripathy, Harvard

    Yufei Zhao, MIT

 

    Group N1:

    Yakov Berchenko-Kogan, Caltech

    Sergei Bernstein, MIT

    Jason Bland, Caltech

    Kestutis Cesnavicius, Rice

    Palmer Mebane, Harvey Mudd

    John Pardon, Princeton

    Jacob Steinhardt, MIT

    Yi Sun Harvard

    Alex Zhai, Harvard

    Bohua Zhan, MIT

 

    Group N2:

    Yi-Wei Chan, Illinois

    Jeffrey Chen, Stanford

    Miles Edwards, Indiana

    Sam Elder, Caltech

    Zhou Fan, Harvard

    Whan Ghang, MIT

    Seok Hyeong Lee, Stanford

    Panupong Pasupat, MIT

    Colin Sandon, MIT

    Eric Stansifer, Caltech

 
    The Elizabeth Lowell Putnam Prize doesn’t seem to have been awarded. “

Geometria: onde está o teorema de Pitágoras no logótipo do NTR ?

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras?

Obs. Os dois quadrados maiores são iguais.

Fonte do logo — Primeiro slide de:

 Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences, Algorithmic Number Theory, Turku, May 8, 2007 

de 

 Alf van der Poorten (Emeritus Professor of Mathematics, ceNTRe for Number Theory Research, Sydney) 

18.03.10

P.S. E agora?

P.P.S.

Ver também nesta minha entrada, Exemplo de «Le triangle», na página 54 da revista La Recherche Spécial Mathématiques Nov 2008 – demonstração do teorema de Pitágoras (Pythagore).

 

P.P.P.S.

Reportando-me à figura em que designei pelas letras  os lados dos quadrados pretos e dos triângulos.

O quadrado da esquerda por ter os lados iguais a , tem de área . A área do da direita é igual. A área total do quadrado da esquerda é

A área total do da direita é

Igualando estas áreas, tem-se

donde se demonstra que