Polígonos regulares com n lados inscritos e circunscritos num círculo: relação de perímetros

Problema: dois polígonos regulares semelhantes com n lados, um circunscrito e o outro inscrito num círculo de raio r, têm perímetros iguais a, respectivamente, P e p

  1. Determine p em função de P,n e r.
  2. Prove que, quando n tende para infinito, p/P\rightarrow 1.

Sugestão: observe as figuras seguintes: o desenho animado, em

  http://geometrias.eu/deposito/polinscircuns.html 

(Criado com GeoGebra por Arsélio Martins e aqui incluído em 2.03.10)

 ou estes

 

Construção auxiliar

Construção auxiliar

[ou ainda estes polígonos inscritos e circunscritos enviados -- bem como a figura anterior --  por António Ferrão, em  23.03.10,  a quem agradeço:]

 

Adenda: inspirado nas páginas 160-161, da 3.ª edição do livro francês, de F. G.-M., 1917 (com 735 páginas, Maison Alfred Mame et Fils, Tours e J. de Gigord, Paris), Cours de Géometrie Élémentaire.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Polígonos regulares com n lados inscritos e circunscritos num círculo: relação de perímetros

  1. Dani diz:

    let \alpha be half the angle determined by the line segments AO and OB. since CD has length \frac{P}{n} and AB has length \frac{p}{n} , we obtain the identities:
    \sin(\alpha)=\frac{p}{2nr} and \tan(\alpha)=\frac{P}{2nr} it follows that \frac{p}{P} = \sqrt{ 1- (\frac{p}{2nr})^2 } , which proves the limit since p \leq 2 \pi r  \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p}{2nr} = 0 . Elementary manipulation of the last equality yields
    p=\sqrt{ \frac{1}{\frac{1}{P^2}+\frac{1}{(2nr)^2} } }

    – – –

    [Let \alpha be half the angle determined by the line segments AO and OB. Since CD has length \dfrac{P}{n} and AB has length \dfrac{p}{n}, we obtain the identities:

    \sin(\alpha)=\dfrac{p}{2nr}

    and

    \tan(\alpha)=\dfrac{P}{2nr}.

    It follows that

    \dfrac{p}{P}=\displaystyle{\sqrt{ 1- \left(\dfrac{p}{2nr}\right)^2 }} ,

    which proves the limit, since

    \displaystyle{p\leq 2\pi r\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{p}{2nr}}=0.

    Elementary manipulation of the last equality yields

    p=\displaystyle{\sqrt{ \dfrac{1}{\dfrac{1}{P^2}+\dfrac{1}{(2nr)^2} } }} .

    LaTeX edited to \displaystyle. Américo Tavares]

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