Alguns dos fractais mostrados no Fraktale Welten gerados por fórmulas de iteração que sugeri ao autor

Partindo da fórmula de iteração conhecidíssima que cria o conjunto de Mandelbrot

z_{n+1}=z_n^2+c,

[ em que c=z_0=x_0+iy_0=\text{Re}(c)+i\text{Im}(c) é uma constante complexa, correspondente ao início da trajectória de iteração assim gerada no plano complexo ], em Doppelpot , do blogue alemão  Fraktale Welten, de Nachtwaechter, explica-se que, quando, numa fórmula de iteração ou de recorrência, se utilizam duas potências complexas diferentes, os fractais obtidos podem ser especialmente belos; e, ao ler, na continuação: 

»So sinnlos eine derartige Formel mathematisch ist, so hübsch sind die damit erzeugten Bilder, insbesondere die Bilder der Julia-Mengen«

«Uma fórmula desse tipo é tão desprovida de sentido matemático quanto  belas são as imagens que produz, especialmente as dos conjuntos Julia»,  

lembrei-me de sugerir ao autor que experimentasse usar as seguintes fórmulas de iteração:

  1. z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c
  2. z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}c}
  3. z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}+c}
  4. z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}
  5. z_{n+1}=z_{n}^{c}, etc.

No seu artigo Fünf Formeln (cinco fórmulas) explica e mostra os fractais assim gerados: o básico (Grundform), um pormenor (Detail), e o conjunto do tipo Julia (Julia-artige Menge).

primeira destas fórmulas  ,  que é semelhte à de Mandelbrot, gera, talvez por isso,  um fractal parecido ao de Mandelbrot.  Mostro-os de seguida, pela ordem em que aparecem no artigo, e que são, respectivamente: o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia.

z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c   

(A)

(B) 

(C)

Os fractais da fórmula de recorrência 4 são estes, respectivamente,  o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia:

z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}

(D)

(E)

(F)

 

No artigo referenciado representam-se os restantes, bem com explicações e opiniões do autor, e ainda os códigos usados em Ultra Fractal 5 para  gerar os fractais. 

Agora uma sondagem:

(A) vista global do fractal gerado por z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c

(B) pormenor de (A)

(C) conjunto tipo Julia de (A)

(D) vista global do fractal gerado por z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}

(E) pormenor de (D)

(F)  conjunto tipo Julia de (D)

Edição de 25.02.10: incluída sondagem e aperfeiçoado o texto.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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