Problema do mês :: Problem of the month #3

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Enunciado do Problema

Seja P(x) um polinómio real de grau n\geq 2. Suponha que o coeficiente do termo de maior grau de P é igual a 1. Prove que \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}, em que w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1} são as raízes de P^{\prime }(x).

  • O prazo limite para apresentação das resoluções é 10.02.2010, através de email acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.

Problem Statement  

Let P(x) be a polynomial of degree n\geq 2. Assume that the leading coefficient of P is equal to 1. Prove that \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}, where w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1} are the roots of P^{\prime }(x).

  • The deadline for submitting solutions is February 10, 2010 either via e-mail  acltavares@sapo.pt or comment box.

Revisão de/Revised in 23.02.10: leading coefficient instead of highest coefficient.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Problema do mês :: Problem of the month #3

  1. MathOMan diz:

    P'(x) = n (x – w_1)…(x – w_{n-1})

    P”(x) = n sum{k=1…n-1} (x-w_1)…(x-w_{k-1})(x-w_{k+1})…(x-w_{n-1})

    = sum{k=1…n-1} P'(x)/(x-w_k)

    The result follows by dividing by P'(x). I don’t know why the problem is stated about P’ and P”. It is clearer to state it about P and P’ .

    [Latex edited version by AT:

    P'(x)=n (x-w_1)\cdots (x - w_{n-1})

    P''(x)=n\displaystyle\sum_{k=1,\dots ,n-1}(x-w_1)\cdots (x-w_{k-1})(x-w_{k+1})\cdots (x-w_{n-1})

    =\displaystyle\sum_{k=1,\dots ,n-1}P'(x)/(x-w_k)

    The result follows by dividing by P'(x). I don’t know why the problem is stated about P' and P''. It is clearer to state it about P and P' . ]

  2. Obtive no Gaussianos http://gaussianos.com/ estas respostas:

    1 – De Dani
    (em http://gaussianos.com/formando-2010/#comment-32303)

    « Parece bastante inmediato, no? Si P es mónico, será el coeficiente de x^{n-1} en P^{\prime} igual a n. Por tanto podemos escribirlo de esta forma:

    P^{\prime }(x)=n(x-w_{1})(x-w_{1})\cdots (x-w_{n-1})=n\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\left( x-w_{k}\right)

    Luego derivando término a término obtenemos

    P^{\prime \prime }(x)=n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( \displaystyle\prod_{j\neq k}\left( x-w_{j}\right) \right)

    de donde al dividir por P^{\prime} nos da

    \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)} =\dfrac{n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( \displaystyle\prod_{j\neq k}\left( x-w_{j}\right) \right) }{n\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\left( x-w_{k}\right) } =\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( \dfrac{n\left( \displaystyle\prod_{j\neq k}\left( x-w_{j}\right) \right) }{n\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\left( x-w_{k}\right) }\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}

    como queríamos demostrar. »

    2 – De M ( em http://gaussianos.com/formando-2010/#comment-32311):
    « Si p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right) , entonces

    \log \left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert (para x\neq a_{i}). Derivando (cuidando bien el signo entre las raíces):

    \dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}. Tu caso se particulariza con \left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\} . »

    3 – E ainda outra resolução de M para o caso de p(x) ter raízes simples.

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