By now LaTeX code should be entirely fixed.

Thanks again!

First, thanks a ton for the New Year’s wishes. Here’s wishing your family and you, too, a great New Year!

Coming back to the problem on this thread, Neil’s solution is exactly what I was looking for! (The LaTeX code night still need some correction. As of now, I see . As per Neil’s solution, I think the number should be .)

Beautiful proof!
I am going to post the problem statement by Vishal, my guess, and your proof.
I edited your LaTeX a little bit.

Have a Happy New Year!

Américo

PS. Latex fixed.

The maximum is .

Rough proof:
It’s definitely the case that no factor can be 1 in the maximum, since the 1 could just be added to any other factor to increase the product. It’s also true that for any integer 5 or greater, 3(n-3)>n, so it could be split into 3 and n-3 to give a larger product and equal sum. Any 4 can be split into 2 and 2 giving the same sum and product. Therefore only 2 and 3 are needed to represent the maximum. Because , maximizing the number of 3's should give the maximum product. The maximum number of 3's you can fit into 100 with an even remainder is 32, leaving 4, which is two 2's.

This turns out to also be equivalent to asking "What's the maximum number of maximal independent sets that can occur in a graph of 100 nodes?" The graph that satisfies this condition is just 32 's and 2 's (it's 34 disconnected components, but it's still a graph). I've been using this lately to construct very bad cases to test out a couple of quantum algorithms I've been working on.

Obrigado por ter identificado os erros de escrita: corrigi-os, excepto o dos naturais, porque, por vezes, nos livros, encontro uma definição, outra vez outra, começando em 1 ou em 0; a Wikipedia refere estas duas convenções.

A aproximação aos inteiros mais próximos permitiu encontrar o mesmo valor da solução publicada pela Purdue University, que não usa o método de Lagrange, mas que depois de concluir que , segue essencialmente o mesmo caminho, se estou a ver bem.

Acrescentei, quanto à resolução, no início do post, a nota referindo que «apenas se afirma que foi “completa ou parcialmente resolvida”».

Permanece, pois, em aberto a questão que levanta, parecendo-me pertinentes as suas considerações, que agradeço por trazer mais luz a este assunto.

Penso que existem alguns erros tipográficos na solução que apresentou. Por exemplo:

- se a função retorna um escalar (o produto dos ), não entendo a expressão

- idem para a expressão

- em vez de “para um dado , com “, porque não escrever apenas: “para um dado “?

- em vez de , devia ser

No entanto isto são apenas erros de sintaxe. Apesar de não ser matemático, e apesar de preferir o pragmatismo ao pedantismo intelectual, obter soluções para problemas de optimização em espaços discretos usando técnicas para espaços contínuos, e depois aproximar ao inteiro mais próximo… é algo que me parece potencialmente perigoso!! Tal poderia funcionar para calcular o que minimiza , mas para funções-objectivo genéricas, é uma receita para o desastre. Penso que temos que nos restringir a certas classes de funções-objectivo. Exigir continuidade e diferenciabilidade deve ser necessário para se poder usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Eu exigiria também convexidade. Por exemplo, a função é convexa, pelo que quando temos um mínimo, sabemos que é global. Podemos então procurar soluções inteiras na vizinhança desse mínimo. Mas se a função não for convexa, pode haver um enorme número de mínimos locais, e aproximar ao inteiro mais próximo não é correcto.