Traduzo e adapto esta minha entrada em inglês onde apresentei um problema transcrito de um post do Professor Gowers, bem como dois dos meus comentários.
O Professor Gowers usa um método contínuo para modelar o seguinte problema discreto apresentado num seu post recente.
” Suponha para simplificar que a taxa de juro de um empréstimo contra hipoteca é de 5% e que essa taxa permanece constante. Se o empréstimo for de £50000 e pagar £500 por mês, indique qual o tempo aproximado que demoro a liquidá-lo? “
Texto original:
” Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage? “
Eis os meus dois comentários:
1. “Apresento uma proposta de resolução directa do seu problema discreto de pagamento de um empréstimo contra hipoteca. Esta resolução, mesmo que esteja correcta, claro que é de longe muito menos instructiva que o seu argumento!
Em geral, dado o principal 
Ora agora temos de somar uma progressão geométrica de razão 
ou
No problema dado, os pagamentos ocorrerão durante 
ou
Resolvendo em ordem a
e, como provou
2. “Permita-me que acrescente só mais uma interpretação da minha parte: a taxa de juro contínua efectiva pode obter-se da taxa nominal de 5%, composta 
![\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7B0%2C05%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%7D-1%3D%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7B0%2C05%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%2F0%2C05%7D%5Cright%5D+%5E%7B0%2C05%7D-1&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1")
(que a sua fórmula 
![=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cunderset%7Bm%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%7B%5Clim+%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28+1%2B%5Cdfrac%7Br%7D%7Bm%7D%5Cright%29+%5E%7Bm%2Fr%7D%5Cright%5D+%5E%7Br%7D-1%3De%5E%7Br%7D-1.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.")
Do ponto de vista de um problema puramente matemático o modelo que discute é muito mais interessante e de maior valor.”
