Problema do mês :: Problem of the month #1

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Resolução :: Solution

Enunciado do Problema  

Seja m o maior inteiro positivo tal que \dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}.  Determine, justificando, um majorante de m.

  • Nota: não  se permite a utilização de calculadoras ou computadores.
  • Sairá vencedora  a melhor estimativa  justificada
  • Afirmação não demonstrada: 10   é um majorante de m. Encontre um mais pequeno. 
  • O prazo limite para apresentar resoluções é 19.07.2009. acltavares@sapo.pt

Problem Statement

Let m be the greatest positive integer such that \dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}. Find with proof an upper bound for m.

  • Remark: the use of calculators or computers is not allowed.
  • The best justified estimate will win.
  • Claim: 10 is an upper bound for m. Find a smaller one.
  • The deadline for submitting solutions is July 19, 2009. acltavares@sapo.pt
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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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7 respostas a Problema do mês :: Problem of the month #1

  1. PB diz:

    Bonjour Américo,
    J’ai essayé de donner une réponse à la question :
    http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=744#comment-1025
    A bientôt.

    [On sait que v_{p}\left( \dbinom{n}{k}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty }\left( \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) . De
    plus, chaque terme \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor\dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor
    vaut 0 ou 1 (on a toujours \left\lfloor x+y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor -\left\lfloor y\right\rfloor qui vaut 0 ou 1).

    Si i est assez grand, il est clair que \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor =0. Précisément, puisque n\geq k, il
    suffit que p^{i}>n, c'est-à-dire i>\log _{p}(n) pour que \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor =0. On a donc: v_{p}\left( \dbinom{n}{k}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor \log_{p}(n)\right\rfloor }\underset{0\text{ ou }1}{\underbrace{\left( \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) }}\leq\left\lfloor \log _{p}(n)\right\rfloor

    Donc v_{13}\left( \dbinom{13^{5}}{3^{7}}\right) \leq \left\lfloor \log_{13}(13^{5})\right\rfloor =5. Et 5 c'est mieux que 10 :) ] Added/Acrescentado A Tavares

  2. PB diz:

    C’est moi qui vous remercie :-)
    Mais est-on certain que 5 est la bonne réponse ?

    • Américo Tavares

      (edit)

      PB

      Yes, but I am not able to prove it theoretically.

      The proof I know is just a short version of yours.

      Let us see if someone can prove it.

  3. fatima diz:

    5 deve ser a melhor resposta.

  4. Pingback: Walking Randomly » New math problem of the month series

  5. Em 13.06.09 divulguei este problema nos Gaussianos.

    On July 13, 2009 I posted this Problem in Gaussianos.

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