Problema do mês :: Problem of the month #1

Junho 11, 2009 in Matemática, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema do mês | Tags: Matemática, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema, Problema do mês

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Resolução :: Solution

Enunciado do Problema

Seja $m$ o maior inteiro positivo tal que $\dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}.$ Determine, justificando, um majorante de $m.$

Nota: não se permite a utilização de calculadoras ou computadores.
Sairá vencedora a melhor estimativa justificada.
Afirmação não demonstrada: 10 é um majorante de $m$ . Encontre um mais pequeno.
O prazo limite para apresentar resoluções é 19.07.2009. acltavares@sapo.pt

Problem Statement

Let $m$ be the greatest positive integer such that $\dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}.$ Find with proof an upper bound for $m.$

Remark: the use of calculators or computers is not allowed.
The best justified estimate will win.
Claim: 10 is an upper bound for $m$ . Find a smaller one.
The deadline for submitting solutions is July 19, 2009. acltavares@sapo.pt

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Junho 12, 2009 às 7:08 am

Bonjour Américo,
J’ai essayé de donner une réponse à la question :
http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=744#comment-1025
A bientôt.

[On sait que $v_{p}\left( \dbinom{n}{k}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty }\left( \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) .$ De
plus, chaque terme $\left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor\dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor$
vaut $0$ ou $1$ (on a toujours $\left\lfloor x+y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor -\left\lfloor y\right\rfloor$ qui vaut $0$ ou $1$ ).

Si $i$ est assez grand, il est clair que $\left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor =0$ . Précisément, puisque $n\geq k$ , il
suffit que $p^{i}>n$ , c'est-à-dire $i>\log _{p}(n)$ pour que $\left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor =0$ . On a donc: $v_{p}\left( \dbinom{n}{k}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor \log_{p}(n)\right\rfloor }\underset{0\text{ ou }1}{\underbrace{\left( \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) }}\leq\left\lfloor \log _{p}(n)\right\rfloor$

Donc $v_{13}\left( \dbinom{13^{5}}{3^{7}}\right) \leq \left\lfloor \log_{13}(13^{5})\right\rfloor =5$ . Et $5$ c'est mieux que $10$ :) ] Added/Acrescentado A Tavares

Responder

Junho 12, 2009 às 8:17 am

Américo Tavares

Bonjour et merci PB,

J’ai transcrit votre réponse.

A bientôt.

Junho 12, 2009 às 1:22 pm

C’est moi qui vous remercie :-)
Mais est-on certain que 5 est la bonne réponse ?

Responder

Junho 12, 2009 às 1:34 pm

Américo Tavares

Américo Tavares

(edit)

Yes, but I am not able to prove it theoretically.

The proof I know is just a short version of yours.

Let us see if someone can prove it.

Junho 14, 2009 às 7:39 am

fatima

5 deve ser a melhor resposta.

Responder

Junho 14, 2009 às 12:00 pm

Walking Randomly » New math problem of the month series

[...] out the first problem here but try not to look at the comments section if you don’t want any [...]

Responder

Junho 17, 2009 às 8:03 am

Américo Tavares

Em 13.06.09 divulguei este problema nos Gaussianos.

On July 13, 2009 I posted this Problem in Gaussianos.

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