Enigma: adivinha com números, cartas, cores (e base 2)

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Do  A Matemática anda por aí

    « Pede-se a uma pessoa que pense num número natural menor ou igual a 60. De seguida pede-se que indique a cor das cartas onde esse número aparece. Adicionando o menor número de cada uma das cartas indicadas (ou seja, o número indicado no canto superior esquerdo) descobre-se o número pensado ( por exemplo, se pensou no 38 ele aparece nas seguintes cartas: vermelha (2), azul escuro (4) e roxo (32); ora 2+4+32=38).
    Verifica que resulta.
    Porquê?

»

NOTA: SUGIRO QUE TENTE OBTER UMA EXPLICAÇÃO SEM LER A MINHA.

A minha resposta/explicação publicada no blog foi:

No canto superior esquerdo das cartas estão os números 1,2,4,8,16 e 32, ou seja, as potências de base 2 e expoente, respectivamente, 0,1,2,3,4 e 5.

Estes números só aparecem uma vez. Seja n um número natural qualquer inferior a 51. Este número n pode decompor-se numa soma das potências de 2 atrás referidas. À parte a ordem das parcelas, a decomposição é única. Começamos em n e subtraímos-lhe uma destas potências de 2, por exemplo, a maior que seja menor ou igual a n. À diferença obtida fazemos o mesmo, até chegarmos a uma das potências colocadas no canto superior esquerdo das cartas. Por exemplo n=59; calculamos sucessivamente

 n-32=27,

 27-16=11,

 11-8=3,

 3-2=1.

 Por isso, n=59=32+16+8+2+1. O que é feito neste jogo é colocar o 59 nas cores correspondentes ao 32 (roxo), 16 (azul claro), 8 (laranja), 2 (vermelho) e 1 (verde). E fazer o mesmo com todos os outros números. O número do exemplo do enunciado (38) respeita este critério:

 38-32=6;

 6-4=2,

 pelo que, como explicado, 38=32+4+2, aparecendo nas 3 cores indicadas. A propriedade comutativa da soma assegura que a ordem de escolha das potências é irrelevante.

Muito interessante, sem dúvida!

30 de Dezembro de 2008 22:52

A que acrescentei 

Vejo agora que no seu post logo a seguir tem essencialmente a mesma resposta!

30 de Dezembro de 2008 23:34

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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9 respostas a Enigma: adivinha com números, cartas, cores (e base 2)

  1. Exercício muito interessante.
    Sempre que haja um conjunto de questões dicotómicas, temos vantagem em recorrer à base dois, isto é, associar à resposta negativa um ZERO e à resposta positiva uma potência de dois (sempre a mesma para cada questão). O conjunto das respostas globalmente idênticas ficará projectado nos primeiros 2^N números inteiros (sendo N o número de questões).
    O procedimento inverso também é válido: a partir de um dos primeiros 2^N números interios, conhecer o subconjunto de qualidades seleccionadas, investigando se, na decomposição binária do número mencionado, determinada potência de dois está ausente (peso NULO) ou presente (peso unitário).
    No esquema proposto, todos os números naturais inferiores a 60 em cuja decomposição binária aparece o 1 com peso significativo (números ímpares) estão presentes no cartão VERDE. Tais números podem conter outra potência de dois na sua representação binária, logo aparecer também noutros cartões. À excepção do próprio número 1, assim acontece com os todos. Cerca de metade de cada um dos números dos cartões NÃO-VERDES são ímpares, mas no cartão VERDE, são ímpares a totalidade. Algo identico poderia ser dito da presença-ausência do peso 2 e do cartão VERMELHO, do peso 4 e do cartão AZUL, etc.
    Em geral, dado um total de N casos possíveis, um conjunto de log(N) na base dois de qualidades judiciosamente definidas são suficientes para discriminar exaustivamente tais casos.
    Parabéns pelo artigo e BOM ANO NOVO de 2009.

  2. Muito obrigado pelo enquadramento teórico que fornece e pelos parabéns que me dá.

    Outra vez, BOM ANO NOVO.

  3. Pingback: Fique por dentro Decompor » Blog Archive » Enigma: adivinha com números, cartas, cores (e base 2)

  4. ja diz:

    oi td bem?
    gostei muito desse site… incrivel mesmo!!!

    • Luma diz:

      Esse jogo é fácil é só vc perguntar para as pessoas se na quela tabela tem o numero se tiver vc soma + e se nao tiver vc nao soma e nem diminui.
      :)

    • Luma, certo! Mas a questão é saber por que motivo esta distribuição destes números pelas cartas de diferentes cores funciona.

      Como seria se em vez de 1, 2, 4, 8, 16, 32 estivessem os números 0, 1, 3, 9, 27, 81?

  5. Nagato diz:

    eu tentei o Nº 42 e na conta só deu 40 !

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