Por ser bastante instrutivo, vale a pena analisar o método extremamente engenhoso que Nilay Vaish, autor de uma das resoluções do integral do problema POW-10 (problem of the week 10, de Todd and Vishal’s blog), usou para lá chegar — obteve uma equação linear em relação a esse integral — bem como tomar conhecimento do da diferenciação sob o sinal de integral exposto no post.
Eu, pela minha parte, NÃO consegui determinar o integral proposto pelos métodos do cálculo integral real ou complexo, embora soubesse que o valor desse integral
era 
em que 
da qual utilizei os seguintes valores particulares
e
uma vez que 
se tem
Usando (1), (2) e (3) tudo o que fiz foi calcular
![\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{x}{\tan x}dx=\left[ x\log \left( 1-e^{2ix}\right) -\dfrac{1}{2}i\left( x^{2}+Li_{2}\left( e^{2ix}\right) \right) \right] _{0}^{\pi /2}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi+%2F2%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%5Ctan+x%7Ddx%3D%5Cleft%5B+x%5Clog+%5Cleft%28+1-e%5E%7B2ix%7D%5Cright%29+-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Di%5Cleft%28+x%5E%7B2%7D%2BLi_%7B2%7D%5Cleft%28+e%5E%7B2ix%7D%5Cright%29+%5Cright%29+%5Cright%5D+_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi+%2F2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{x}{\tan x}dx=\left[ x\log \left( 1-e^{2ix}\right) -\dfrac{1}{2}i\left( x^{2}+Li_{2}\left( e^{2ix}\right) \right) \right] _{0}^{\pi /2}")
![=\left[ x\log \left( 1-e^{2ix}\right) \right] _{0}^{\pi /2}-\left[ \dfrac{1}{2}i\left( x^{2}+Li_{2}\left( e^{2ix}\right) \right) \right] _{0}^{\pi /2}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%5Cleft%5B+x%5Clog+%5Cleft%28+1-e%5E%7B2ix%7D%5Cright%29+%5Cright%5D+_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi+%2F2%7D-%5Cleft%5B+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Di%5Cleft%28+x%5E%7B2%7D%2BLi_%7B2%7D%5Cleft%28+e%5E%7B2ix%7D%5Cright%29+%5Cright%29+%5Cright%5D+_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi+%2F2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "=\left[ x\log \left( 1-e^{2ix}\right) \right] _{0}^{\pi /2}-\left[ \dfrac{1}{2}i\left( x^{2}+Li_{2}\left( e^{2ix}\right) \right) \right] _{0}^{\pi /2}")
PS. corrigido para “autor de uma das resoluções”, no primeiro parágrafo [3-12-2008, 0h42m UTC]
PPS. simplificada ligeiramente a exposição.
Adenda de 5-12-2008: acrescentado link à minha entrada de hoje sobre o método da diferenciação sob o sinal de integral.
gostei
Você tentou usar tg(x) = u, então x = arctg(u)?
Daí fica dx = du/(1+u²) e a integral fica arctg(u)/(1+u²). * du/u, coisa que tenho certeza que já vi parecida no livro do Spivak.
Caro Matheus,
Desculpe só agora comentar a sua sugestão. Se usar
, fica
mas não sei como prosseguir.
No SWP obtive há pouco
que com
e
dá
Mas não sei chegar a
.
Bom, da integral de arctg(u)du/((u^2 + 1)u) você poderia usar integração por partes, derivando 1/u e integrando arctg(u)du/(u^2+1), donde a derivada de 1/u seria -1/u^2, e a integral de arctg(u)du/(u^2+1) seria resolvida substituindo arctg(u)=z e dz=du/(u^2+1)