Problemas Teoremas

Novembro 27, 2008

Identidade de Lagrange

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Demonstração,Identidade matemática,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 9:04 pm
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A desigualdade de Cauchy-Schwarz, já demonstrada anteriormente, é também uma consequência directa da identidade de Lagrange; neste sentido esta identidade constitui uma generalização dessa desigualdade, que relembro ser

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^2\right)

\bigskip

Proposição: Identidade de Lagrange. Para os reais a_{k} e b_{k} (com 1\leq k\leq n) verifica-se

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

Demonstração: O produto de duas somas com n termos cada é uma soma com n^{2} termos:

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}

Os índices i e j de cada termo genérico x_{i}y_{j} podem ser iguais (i=j) ou o primeiro menor do que o segundo (i<j) ou maior (j<i). Separando estes três grupos de parcelas, vem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{1\leq j<i\leq n}x_{i}y_{j}

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{j}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{i}

Particularizando, para x_{i}=a_{i}^{2} e y_{j}=b_{j}^{2} obtém-se

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

e para x_{i}=y_{i}=a_{i}b_{i}

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)

 =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Ora

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

pelo que

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Por outro lado

2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+

 \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

visto que, por troca dos índices i e j, se tem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

provando-se assim a identidade indicada acima \qquad\square

Correcção de 1-12-2008: na fórmula da desigualdade de Cauchy-Schwarz, bem como no pdf.

4 Comentários »

  1. De facto, Lagrange usou essa desigualdade em pelo menos um artigo: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229223s/f403 (Remarques générales sur le mouvement de plusieurs corps qui s’attirent mutuellement en raison inverse des carrées des distances) onde lança as bases da teoria do potencial. Fiz uma tradução deste excelente artigo e coloquei-a em: http://cid-2c5a398697f523d4.office.live.com/view.aspx/Ci%C3%AAncias%20exactas%20e%20matem%C3%A1tica/artigos/Teoria%20do%20potencial%20de%20Lagrange.docx

    A desigualdade, na minha tradução, aparece na página 9, bem como a respectiva identidade.

    Comentário por serolmar — Abril 19, 2011 @ 3:11 pm | Responder

    • Caro Sérgio,

      Muito obrigado pelas suas informações e links. Os nomes da desigualdade e da identidade que indico aparecem, entre outros lados, no livro de Tom Apostol “Mathematical Analysis”. A desigualdade é o teorema 1.23 e a igualdade, o exercício 1.23.

      A propósito da autoria dos teoremas que, por vezes, têm um nome que não corresponde ao matemático que o descobriu, o Prof. Dick Lipton escreveu um post recente a que deu o título de “Why Is Everything Named After Gauss?“, onde discute o assunto, com numerosíssimos exemplos.

      PS. É de louvar o seu trabalho de tradução!

      Comentário por Américo Tavares — Abril 19, 2011 @ 3:59 pm

  2. Muito boa esta identidade de Lagrange generalizada. Neste post,

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2011/03/representacao-de-um-inteiro-positivo.html

    uso a identidade de Lagrange para representar um inteiro positivo como soma de 4 quadrados. Devido os detalhes técnicos omiti a prova dos dois últimos teoremas.

    Comentário por Prof. Paulo Sérgio — Abril 20, 2011 @ 11:55 am | Responder

  3. um site único e bwé fixe.

    Comentário por hermes — Agosto 5, 2011 @ 10:34 pm | Responder


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