Derivadas: a total de uma função composta de duas variáveis reais e de uma função elevada a outra função

pdf: ver caderno

Proponho-me demostrar  a seguinte regra de derivação

\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }(t)+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }(t)

como aplicação do  teorema relativo à derivada total em relação a  t de uma função de duas variáveis reais ambas função de t.

Teorema: Sejam z=f\left( x,y\right) uma aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R} diferenciável em \left( x_{0},y_{0}\right) e x=\varphi \left( t\right) e y=\psi \left( t\right) duas aplicações de \mathbb{R} em  \mathbb{R}  diferenciáveis em t_{0}.

Então

\left(\dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dx}{dt}\right) _{t_{0}}+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dy}{dt}\right) _{t_{0}}

Demonstração: seja \Delta z o incremento de z=f\left( x,y\right) em \left( x_{0},y_{0}\right) associado a um incremento \Delta t em t_{0}:

\Delta z=f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi\left( t_{0}\right) \right)

 =\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]

+\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]

Por hipótese, \varphi e \psi são diferenciáveis em t_{0} pelo que existem variáveis reais \xi,\eta que tendem ambas para 0 com \Delta t tais que

h=\varphi\left( t_{0}+\Delta t\right) -\varphi\left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\xi \right)

 k=\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) -\psi \left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\eta \right)

 Admitindo que f_{y}^{\prime } é contínua existe um número real \theta \left( 0<\theta <1\right) tal que a primeira parcela de \Delta z se pode exprimir na forma

f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =

 =kf_{y}^{\prime }\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\theta k\right) \right) =k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)

A variável real \beta tende para 0 com \Delta t. Existe ainda outra variável real \alpha que também tende para 0 com \Delta t ; é  tal que a segunda parcela de \Delta z é  da forma

f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right)  .

Vem, portanto

\Delta z=h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right) +k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)

Assim, tem-se

\dfrac{\Delta z}{\Delta t}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varepsilon

em que

\varepsilon =\xi f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \alpha +\xi \alpha +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \beta +\eta f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\eta \beta

que tende para 0 com \Delta t. Logo

\left( \dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \varphi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \psi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right)

como se queria demonstrar \qquad\square

\bigskip

Exemplo 1: demonstre a seguinte regra de derivação

\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }

Neste caso temos z=f(x,y)=u^{v}, em que x=u\left( t\right) e y=v\left( t\right)  . A derivada f^{\prime }(t) será

f^{\prime }(t)=\dfrac{\partial z}{\partial x}\times \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\times \dfrac{dy}{dt}

sendo

\dfrac{\partial z}{\partial x}=yx^{y-1}=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}

\dfrac{\partial z}{\partial y}=\left( \ln x\right) x^{y}=\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }

donde se chega imediatamente à  regra enunciada. \qquad\blacktriangleleft

\bigskip

Exemplo 2: determine \left( x^{x}\right) ^{\prime }

Aplica-se a regra do exemplo 1:

\left( x^{x}\right) ^{\prime }=xx^{x-1}+\left( \ln x\right) x^{x}=\left( 1+\ln x\right) x^{x} \qquad\blacktriangleleft

NOTA DE 8-12-2008: a regra de derivação do exemplo 1 pode ser deduzida sem recorrer ao teorema da derivada da função composta, reparando que

\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=e^{v(t)\ln(u)}

atendendo a u(t)=e^{\ln(u(t))} e aplicando de seguida a regra de derivação da função exponencial.

About these ads

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Análise Matemática, Caderno, Cálculo, Demonstração, Matemática, Teorema, Teorema / Teoria com as etiquetas , , , . ligação permanente.

6 respostas a Derivadas: a total de uma função composta de duas variáveis reais e de uma função elevada a outra função

  1. Francisco diz:

    com o “canhão” (exemplo 1) ficou fácil matar este monstro (exemplo 2)!

    apesar da enorme quantidade de contas, achei muito bom o artigo. parabéns…

  2. Adorei a demonstração… esbelta e elegante
    Parabéns

  3. Lucas diz:

    Muito obrigado pela demonstração. Me ajudou muito em uma matéria que estou cursando na Universidade de Brasília.
    Espero que continue produzindo esse tipo de conteúdo para a rede!

  4. mikebotazzo diz:

    Eu não entendi a parte final da sua prova, o que você define como f’y ? A equação da primeira parte do incremento de z está realmente certa? fiquei meio confuso com essa parte.

    • Na notação que utilizei f_{y}^{\prime } é a derivada parcial de f em ordem a y. Uma notação alternativa é f_{y}.

      O incremento total de z, que depende de duas variáveis, é a soma de duas parcelas, a devida à variação da variável x e à da variável y.

      Não sei se o esclareci.

Deixar uma resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

WordPress.com Logo

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Log Out / Modificar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Log Out / Modificar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Log Out / Modificar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Log Out / Modificar )

Connecting to %s