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Novembro 27, 2008

Identidade de Lagrange

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Demonstração,Identidade matemática,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 9:04 pm
Tags: Caderno, Demonstração, Matemática, Prova

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A desigualdade de Cauchy-Schwarz, já demonstrada anteriormente, é também uma consequência directa da identidade de Lagrange; neste sentido esta identidade constitui uma generalização dessa desigualdade, que relembro ser

$\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^2\right)$

$\bigskip$

Proposição: Identidade de Lagrange. Para os reais $a_{k}$ e $b_{k}$ (com $1\leq k\leq n$ ) verifica-se

$\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}$

Demonstração: O produto de duas somas com $n$ termos cada é uma soma com $n^{2}$ termos:

$\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}$

Os índices $i$ e $j$ de cada termo genérico $x_{i}y_{j}$ podem ser iguais $(i=j)$ ou o primeiro menor do que o segundo $(i<j)$ ou maior $(j<i).$ Separando estes três grupos de parcelas, vem

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{1\leq j<i\leq n}x_{i}y_{j}$

$=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{j}$

donde

$\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{i}$

Particularizando, para $x_{i}=a_{i}^{2}$ e $y_{j}=b_{j}^{2}$ obtém-se

$\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}$

e para $x_{i}=y_{i}=a_{i}b_{i}$

$\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)$

$=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}$

Ora

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}$

pelo que

$\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}$

Por outro lado

$2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}$

donde

$\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}$

$=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}$

visto que, por troca dos índices $i$ e $j$ , se tem

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}$

provando-se assim a identidade indicada acima $\qquad\square$

Correcção de 1-12-2008: na fórmula da desigualdade de Cauchy-Schwarz, bem como no pdf.

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Novembro 17, 2008

Derivadas: a total de uma função composta de duas variáveis reais e de uma função elevada a outra função

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Cálculo,Demonstração,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 5:50 pm
Tags: Caderno, Demonstração, Matemática, Prova

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Proponho-me demostrar a seguinte regra de derivação

$\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }(t)+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }(t)$

como aplicação do teorema relativo à derivada total em relação a $t$ de uma função de duas variáveis reais ambas função de $t$ .

Teorema: Sejam $z=f\left( x,y\right)$ uma aplicação de $\mathbb{R}^{2}$ em $\mathbb{R}$ diferenciável em $\left( x_{0},y_{0}\right)$ e $x=\varphi \left( t\right)$ e $y=\psi \left( t\right)$ duas aplicações de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ diferenciáveis em $t_{0}.$

Então

$\left(\dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dx}{dt}\right) _{t_{0}}+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dy}{dt}\right) _{t_{0}}$

Demonstração: seja $\Delta z$ o incremento de $z=f\left( x,y\right)$ em $\left( x_{0},y_{0}\right)$ associado a um incremento $\Delta t$ em $t_{0}$ :

$\Delta z=f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi\left( t_{0}\right) \right)$

$=\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]$

$+\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]$

Por hipótese, $\varphi$ e $\psi$ são diferenciáveis em $t_{0}$ pelo que existem variáveis reais $\xi,\eta$ que tendem ambas para $0$ com $\Delta t$ tais que

$h=\varphi\left( t_{0}+\Delta t\right) -\varphi\left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\xi \right)$

$k=\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) -\psi \left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\eta \right)$

Admitindo que $f_{y}^{\prime }$ é contínua existe um número real $\theta \left( 0<\theta <1\right)$ tal que a primeira parcela de $\Delta z$ se pode exprimir na forma

$f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =$

$=kf_{y}^{\prime }\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\theta k\right) \right) =k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)$

A variável real $\beta$ tende para $0$ com $\Delta t$ . Existe ainda outra variável real $\alpha$ que também tende para $0$ com $\Delta t$ ; é tal que a segunda parcela de $\Delta z$ é da forma

$f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right)$ .

Vem, portanto

$\Delta z=h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right) +k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)$

Assim, tem-se

$\dfrac{\Delta z}{\Delta t}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varepsilon$

em que

$\varepsilon =\xi f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \alpha +\xi \alpha +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \beta +\eta f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\eta \beta$

que tende para 0 com $\Delta t$ . Logo

$\left( \dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \varphi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \psi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right)$

como se queria demonstrar $\qquad\square$

$\bigskip$

Exemplo 1: demonstre a seguinte regra de derivação

$\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }$

Neste caso temos $z=f(x,y)=u^{v}$ , em que $x=u\left( t\right)$ e $y=v\left( t\right)$ . A derivada $f^{\prime }(t)$ será

$f^{\prime }(t)=\dfrac{\partial z}{\partial x}\times \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\times \dfrac{dy}{dt}$

sendo

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=yx^{y-1}=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\left( \ln x\right) x^{y}=\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }$

donde se chega imediatamente à regra enunciada. $\qquad\blacktriangleleft$

$\bigskip$

Exemplo 2: determine $\left( x^{x}\right) ^{\prime }$

Aplica-se a regra do exemplo 1:

$\left( x^{x}\right) ^{\prime }=xx^{x-1}+\left( \ln x\right) x^{x}=\left( 1+\ln x\right) x^{x}$ $\qquad\blacktriangleleft$

NOTA DE 8-12-2008: a regra de derivação do exemplo 1 pode ser deduzida sem recorrer ao teorema da derivada da função composta, reparando que

$\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=e^{v(t)\ln(u)}$

atendendo a $u(t)=e^{\ln(u(t))}$ e aplicando de seguida a regra de derivação da função exponencial.

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Novembro 13, 2008

La Recherche Spécial Mathématiques Nov 2008

Filed under: Geral,Matemática,Vídeo — Américo Tavares @ 8:48 pm
Tags: Geral, Matemática, Vídeo

larecherchenov2008 Comprei hoje este número especial desta revista, na Barata, cujos artigos já foram publicados na rubrica mensal «Bac to basics». Em etc. pode ver:

Les nombres complexes, $\pi$ et la quadrature du cercle, Quelques nombres étranges, Les graphes, Le programme, La simulation numérique, L’arbre de la complexité, Les sondages, …

Adenda de 18-11-2008: Exemplo de «Le triangle», na página 54 da revista — demonstração do teorema de Pitágoras (Pythagore).

larecherchepitagoras1

Adenda de 16-11-2008: aula (1ª parte de uma série cinco) de Michel Waldschmidt – autor do artigo sobre o $\pi$ — sobre métodos de irracionalidade e transcendência (ver meu comentário 2.)

Fonte: http://video.google.com/videoplay?docid=2769879658304129743

Adenda de 16-01-2009: pode ver uma demonstração no blogue Fatos Matemáticos do Prof. Paulo Sérgio, em

http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/01/provas-do-teorema-de-pitagoras-parte-1.html

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Novembro 9, 2008

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Filed under: Caderno,Cálculo financeiro,Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Métodos Numéricos,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 8:43 pm
Tags: Caderno, Cálculo financeiro, Equações, Exercícios, Matemática

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Suponha que tem a seguinte relação

$y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}$

e que pretende calcular $x$ para um dado valor de $y.$ Por exemplo $y=15.$
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

$\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.$

No caso geral tem-se uma equação não linear

$f(x)=0$

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais $x_{1}$ e $x_{2}$ e geramos uma sucessão de valores $x_{i}$ ( $i=2,3,\ldots$ ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por $\left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)$ e por $\left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right)$ tem o coeficiente angular

$m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

e a sua equação é

$y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}$ .

Cruza o eixo dos $x$ no ponto de abcissa $x_{3}$

$x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }$ leia o resto »

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Novembro 3, 2008

Tangente à elipse

Filed under: Caderno,Cálculo,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 4:36 pm
Tags: Caderno, Matemática

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Seja $f\left( x\right)$ uma função real e $f^{\prime }\left( x\right)$ a sua derivada. É bem sabido que a recta tangente ao gráfico da curva $y=f\left( x\right)$ no ponto de coordenadas $\left( x_{0},y_{0}\right)$ tem como coeficiente angular $y_{0}^{\prime }=f^{\prime}\left( x_{0}\right) ,$ sendo, portando, a sua equação da forma $y=f^{\prime }\left( x_{0}\right) x+b$ . O facto de passar por $\left( x_{0},y_{0}\right)$ permite determinar $b$

$b=y_{0}-f^{\prime}\left( x_{0}\right) x_{0}$

pelo que a equação da recta tangente é então

$y=f^{\prime}\left( x_{0}\right) x+y_{0}-f^{\prime }\left( x_{0}\right) x_{0}$

$y=y_{0}^{\prime}x+y_{0}-y_{0}^{\prime}x_{0}.$

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