Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

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Se o termo geral de uma sucessão for constante (u_{n}=c), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=1. E qual é o limite de \sqrt[n]{u_{n}}=\sqrt[n]{c} quando c>0? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{c}=1.

Considere agora o leitor que u_{n}=c^{n}, com c>0. Como \sqrt[n]{c^{n}}=c claro que \lim \sqrt[n]{u_{n}}=c. Por outro lado, sendo neste caso \lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c^{n+1}}{c^{n}}=c, verifica-se igualmente a igualdade

\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}.

Exemplo: em mais um caso concreto, seja agora u_{n}=n^{2}. Vou determinar \lim \sqrt[n]{n^{2}} por um método adaptado de Curso de Matemáticas Gerais de Campos Ferreira [1]. Temos \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}\rightarrow 1. Então, qualquer que seja \delta >0 existe um N tal que, para todo o n\geq N, se verifica 1-\delta <\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}<1+\delta e, portanto,

1-\delta <\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<1+\delta\qquad k=0,1,2,\ldots n-N-1.

Multiplicando estas n-N duplas desigualdades vem, sucessivamente

\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1-\delta \right) <\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1+\delta \right)

\bigskip

\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1-\delta \right) \cdots \left( 1-\delta\right) }}<\dfrac{\left( N+1\right) ^{2}}{N^{2}}\dfrac{\left( N+2\right) ^{2}}{\left( N+1\right) ^{2}}\cdots \dfrac{n^{2}}{\left( n-1\right) ^{2}}<\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1+\delta \right) \cdots \left( 1+\delta \right) }}

\bigskip

\left( 1-\delta \right) ^{n}\left( 1-\delta \right) ^{-N}=\left( 1-\delta\right) ^{n-N}<\dfrac{n^{2}}{N^{2}}<\left( 1+\delta \right) ^{n-N}=\left( 1+\delta \right) ^{n}\left( 1+\delta \right) ^{-N},

\bigskip

pelo que

\left( 1-\delta\right) ^{n}\left( 1-\delta\right) ^{-N}n^{2}<n^{2} <\left( 1+\delta\right) ^{n}\left( 1+\delta\right) ^{-N}n^{2}

e, extraindo agora a raiz de ordem n

\left( 1-\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}.

Como \left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2} e \left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2} são independentes de n, quando se faz tender n para infinito, \sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1 e \sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1, ou seja, para n suficientemente grande, isto é, a partir de uma dada ordem N^{\prime }

1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta

\bigskip

1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta.

Assim

( 1-\delta)(1-\delta)<(1-\delta)\sqrt[n]{(1-\delta)^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}

\bigskip

\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta \right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}<\left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) .

Atendendo a que \left( 1-\delta\right) \left( 1-\delta\right) =1-\left( \delta +\delta -\delta ^{2}\right) e \left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) =1+\left( \delta +b\delta +\delta ^{2}\right) e também \delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2}, se se escolher um número \varepsilon >\delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2} tem-se 1-\varepsilon <\sqrt[n]{n^{2}}<1+\varepsilon (para n\geq \max \left\{ N^{\prime },N\right\} ), e, portanto, continua a ser

\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=1.\qquad\blacktriangleleft

E será que em geral o limite da razão de um termo da sucessão \left( u_{n}\right) em relação ao anterior é igual ao limite da raiz de índice n de u_{n}? A resposta é afirmativa e uma possível demonstração é a de Carlos Sarrico, em Análise Matemática [2], que prova primeiro que se uma sucessão converge para b, então as médias aritmética e geométrica dos seus n primeiros termos convergem também para b, e daí deduz a validade desse enunciado. A proposição seguinte trata precisamente do caso geral, seguindo a mesma estrutura de demonstração do exemplo anterior.

\bigskip

Proposição: Se, para todos os valores de n, u_{n}>0 e se \lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b, então \lim\sqrt[n]{u_{n}}=b.

\bigskip

Demonstração (adaptada de [1]): Pretende-se provar que, qualquer que seja \varepsilon <0, a desigualdade

\left\vert \sqrt[n]{u_{n}}-b\right\vert <\varepsilon

é verificada para todos os valores de n, a partir de alguma ordem M. Como, por hipótese, \lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b, então, qualquer que seja \delta >0 existe um N tal que, para todo o n\geq N, se verifica b-\delta <\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}<b+\delta e, portanto, para k=0,1,2,\ldots n-N-1, tem-se

b-\delta <\dfrac{u_{N+k+1}}{u_{N+k}}<b+\delta .

Multiplicando em k estas n-N duplas desigualdades vem, sucessivamente

\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}(b-\delta )<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{u_N+k+1}{u_{N+k}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}( b+\delta )

\bigskip

\overset{n-N}{\overbrace{(b-\delta )\cdots (b-\delta )}}<\dfrac{u_{N+1}}{u_{N}}\dfrac{u_{N+2}}{u_{N+1}}\cdots\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}<\overset{n-N}{\overbrace{(b+\delta )\cdots (b+\delta )}}

\bigskip

(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}=( b-\delta )^{n-N}<\dfrac{u_{n}}{u_{N}}<(b+\delta )^{n-N}=(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}.

Daqui tira-se

(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}u_{N}<u_{n}<(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}u_{N}

e, extraindo a raiz de ordem n

(b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}.

Como (b-\delta )^{-N}u_{N} e (b+\delta )^{-N}u_{N} são independentes de n, quando se faz tender n para infinito, \sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}} e \sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}} tendem para 1, ou seja, existe um número N^{\prime }, tal que para n\geq N^{\prime }

1-\delta<\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta

\bigskip

1-\delta<\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta

pelo que se obtém o seguinte enquadramento:

(1-\delta )( b-\delta )<( b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}

\bigskip

\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{( b+\delta )^{-N}u_{N}}<(b+\delta )(1+\delta ) .

Atendendo a que (1-\delta )(b-\delta ) =b-(\delta +b\delta -\delta ^{2}) e (b+\delta )(1+\delta )=b+(\delta +b\delta +\delta ^{2}) e também \delta +b\delta +\delta ^{2}>\delta +b\delta -\delta ^{2}, vê-se que tomando \varepsilon >\delta +b\delta +\delta ^{2} se tem efectivamente b-\varepsilon<\sqrt[n]{u_{n}}<b+\varepsilon (para n\geq M=\max \left\{N^{\prime },N\right\}), o que demonstra a proposição. \qquad\blacksquare

\bigskip

Exercícios de aplicação: determine \lim \sqrt[n]{u_{n}}, em que

1. u_{n}=1+\dfrac{1}{n}

2. u_{n}=\left( n+1\right) !-n!

3. u_{n}=a^{n}+b^{n} em que 0<a\leq b

Resolução

1. \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n\left( n+2\right) }\rightarrow 1; e \sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow 1

2. \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+2\right) !-\left( n+1\right) !}{\left( n+1\right) !-n!}=\dfrac{\left( n+2\right) \left( n+1\right) -\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) -1}\rightarrow +\infty ; e \sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow +\infty

3. \dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\dfrac{b^{n+1}\left( \dfrac{a^{n+1}}{b^{n+1}}+1\right) }{b^{n}\left( \dfrac{a^{n}}{b^{n}}+1\right) }\rightarrow b  e \sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow b.

\bigskip

Problema

Sabendo que a sucessão \left( u_{n}\right) verifica a relação de recorrência

u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0

determine \lim \sqrt[n]{u_{n}}.

\bigskip

Resolução

A relação de recorrência acima é de segunda ordem, linear e de coeficientes constantes, dizendo-se ainda homogénea pelo segundo membro ser nulo. A teoria das equações às diferenças diz-nos que o termo geral da sucessão \left( u_{n}\right) é da forma

u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}

em que \alpha ,\beta são as raizes da equação característica

X^{2}-34X+1=0.

Verificação: por substituição vê-se que u_{n}=\alpha ^{n} é solução de u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0. De facto,

\alpha ^{n}-34\alpha ^{n-1}+\alpha ^{n-2}=0

é equivalente a \alpha ^{n-2}\left( \alpha ^{2}-34\alpha +1\right) =0. Analogamente u_{n}=\beta ^{n} é outra solução, pois de

\beta ^{n}-34\beta ^{n-1}+\beta ^{n-2}=0

resulta \beta ^{n-2}\left( \beta ^{2}-34\beta +1\right) =0. Sendo \alpha ,\beta raizes da equação característica, a relação de recorrência é verificada. Como a expressão A\alpha^{n}+B\beta^{n} é uma combinação linear de \alpha ^{n} e \beta ^{n}, facilmente se conclui que também verifica a recorrência u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.

Resolvendo a equação característica, vem

\alpha=\dfrac{34+\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17+12\sqrt{2}>1

\beta=\dfrac{34-\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17-12\sqrt{2}=\alpha ^{-1}<1

e o termo geral

u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}=A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}.

Como \left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}\rightarrow 0, o comportamento de u_{n} para n suficientemente grande é dominado por \left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n} – caso a solução seja crescente com n [editado em 17-10-2008]– e a razão

\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n+1}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n+1}}{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}}

 tende por esse motivo para 17+12\sqrt{2}.\qquad \blacktriangleleft

\bigskip

Referências
[1] FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.

[2] SARRICO, Carlos, Análise Matemática, Leituras e exercícios, 3ª. ed., Gradiva, Lisboa, 1999.

[Correcção de 30-10-2008: nos termos gerais u_n dos exercícios]

[Correcção de 30-11-2008: na resolução do exercício 3]

[7-12-2008: corrigido pdf]

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

  1. Jotamo diz:

    Esta materia está certa ?

  2. eu tinha duvidas
    dessa materia mas ja entendi

  3. mohamad diz:

    gostei da vossa formation

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