John Denver: letras de “Calypso” e “Sunshine On My Shoulders”

De http://www.john-denver.org/Default.asp?id=266

Calypso 

To sail on a dream
on a crystal clear ocean,
to ride on the crest
of a wild raging storm
To work in the service
of life and living,
in search of the answers
of questions unknown
To be part of the movement
and part of the growing,
part of beginning
to understand,

Aye Calypso the places you’ve been to,
the things that you’ve shown us,
the stories you tell
Aye Calypso, I sing to your spirit,
the men who have served you so long and so well

Like the dolphin who guides you,
you bring us beside you
To light up the darkness
and show us the way
For though we are strangers
in your silent world
To live on the land
we must learn from the sea
To be true as the tide
and free as a wind swell
Joyful and loving
in letting it be

Aye Calypso the places you’ve been to,
the things that you’ve shown us,
the stories you tell
Aye Calypso, I sing to your spirit,
the men who have served you so long and so well

Aye Calypso the places you’ve been to,
the things that you’ve shown us,
the stories you tell
Aye Calypso, I sing to your spirit,
the men who have served you so long and so well

De http://www.john-denver.org/Default.asp?id=86

Sunshine On My Shoulders

Sunshine on my shoulders makes me happy.
Sunshine in my eyes can make me cry
Sunshine on the water looks so lovely.
Sunshine almost always make me high

If I had a day that I could give you
I’d give to you a day just like today.
If I had a song that I could sing for you.
I’d sing a song to make you feel this way.

Sunshine on my shoulders makes me happy.
Sunshine in my eyes can make me cry
Sunshine on the water looks so lovely.
Sunshine almost always make me high

If I had a tale that I could tell you
I’d tell a tale sure to make you smile.
If I had a wish that I could wish for you.
I’d make a wish for sunshine all the while.

Sunshine on my shoulders makes me happy.
Sunshine in my eyes can make me cry
Sunshine on the water looks so lovely.
Sunshine almost always make me high

Sunshine almost all the time makes me high.
Sunshine almost always.

Conferência Gulbenkian – Evolução e Desenvolvimento: Variações a dois Tempos e Muitas Cores

INFORMAÇÃO RECEBIDA DA GULBENKIAN COM PEDIDO DE DIVULGAÇÃO 

« O Serviço de Ciência da Fundação Calouste Gulbenkian realiza no Auditório 2 da Fundação Calouste Gulbenkian  (Av. de Berna, 45 A)  a conferência  – EVOLUÇÃO E DESENVOLVIMENTO: VARIAÇÕES A DOIS TEMPOS E MUITAS CORES –  que terá lugar no dia 5 de Novembro, às 18h00, e será proferida pela Profª. PATRÍCIA BELDADE da Universidade de Leiden e do Instituto Gulbenkian de Ciência.   (…)

Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

pdf: ver caderno

Se o termo geral de uma sucessão for constante (), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão . E qual é o limite de quando ? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

.

Considere agora o leitor que , com Como claro que Por outro lado, sendo neste caso verifica-se igualmente a igualdade

.

A necessidade de moderar o ritmo de entradas publicadas

Ao fim de um ano de ter mantido uma publicação regular neste blogue vejo que não consigo continuar com o mesmo ritmo traduzido, neste período, em 218 entradas. Por várias razões: para não me repetir, para tentar não cometer erros…; recentemente num exercício simples de integração (*), enganei-me e logo que detectei o erro corrigi-o, assim como o farei de futuro, sempre que eu o veja ou algum dos leitores me alerte. Mantendo-me na Matemática, pretendo ler, estudar e reflectir mais, esperando ser capaz de vir a produzir exposições mais ricas, independentemente da sua extensão, embora mais espaçadas. Só o futuro dirá se o vou conseguir.

Fora da Matemática e do blogue tenho necessidade de me dedicar a outras actividades que descurei por nítida falta de tempo: o tempo não dá para tudo e devo geri-lo criteriosamente.

Agradeço a todos os leitores e comentadores que por aqui têm passado, sem os quais a divulgação deste tipo de assuntos, da forma como a faço, não faria sentido. Os leitores mais atentos decerto repararão que alguns posts foram muito enriquecidos, mesmo mais, só fazem sentido, com a contribuição que vieram a ter por parte de quem comentou, acrescentando e superando o valor do texto inicial. Se não tenho mais pessoas a verem este blogue de certeza que a culpa é minha. Mas o número não me preocupa. Interessa-me mais manter a confiança dos que aqui vêm com mais regularidade e atrair novos que verdadeiramente se interessem. É que há os que só pretendem fazer spam, como pode ver-se no número que foi apanhado automaticamente pelos meios próprios do blogue. E há ainda uns poucos casos de comentários que nada dizem e/ou não respeitam as regras da boa-educação, que senti, por isso, a necessidade de eliminar.

Em particular, e por ordem cronológica, quero salientar as contribuições, como comentadores, de  physike, nfaust, foreigner e António Ferrão.

Sinto que um blogue destes, com assuntos de níveis diversos e também de qualidade nem sempre conseguida, feita por um não matemático, não pode esperar grandes voos. Francamente isso não me preocupa: sei as minhas limitações, não sou competitivo a não ser comigo próprio e dá-me prazer partilhar com quem me tem lido o que produzi.

Obrigado a todos os visitantes.

Edição de 18-5-2009: um leitor chamou-se a atenção para um erro na escrita da fórmula usada no exercício referido no 1.º parágrafo. Corrigi a fórmula, mas o exercício deixou de fazer sentido, como exemplo simples de integração. (*) editado o 1.º parágrafo em 4-6-2009.

Versão portuguesa da minha resolução do Problem Of the Week-9 [Todd and Vishal's blog]: Período de uma dízima

pdf: ver caderno

A resolução do Problema a seguir enunciado foi aceite.

Find the length of the period of the repeating decimal representation of , ou seja, determine o comprimento do período da dízima [infinita] de 

Eis a minha Resolução traduzida:

A dízima que representa o número  é

.

Seja  um número primo. O período da dízima decimal de  é igual à ordem de e é ou ou um seu divisor. Uma vez que  é um número primo, o período da representação em dízima decimal  periódica de é, pois, ou ou um divisor de . Estes divisores são

.

Por definição de ordem de , tenho de determinar o menor destes  tal que

,

o que quer dizer que  terá de ser inteiro.

Dado que

,

os restantes casos são os de . Destes verifiquei em  PARI  que apenas

é inteiro. Por exemplo,

.

Conclusão. O comprimento do período da dízima que representa  é  

Um dos autores deste excelente blogue de matemática de nível avançado publicou a  resolução muito mais sofisticada e elegante apresentada por by Philipp Lampe.

My solution to the Problem Of the Week-9 [Todd and Vishal's blog]: Period of a decimal expansion

pdf: included in Caderno (see “caderno” page)

I submitted a solution to the following Problem that  was accepted.

Find the length of the period of the repeating decimal representation of

My Solution:

The repeating decimal representation of the number is

.

Let be a prime number. The period of the repeating decimal of is equal to the order  of and is either or a divisor of Since is a prime number, the period of the repeating decimal of is therefore either or a divisor of . These divisors are

.

By the definition of the order of , I have to find the smallest of these such that

,

which means should be an integer.

Since

,

the remaining cases are . From these I have checked in PARI that only

is an integer (*). For instance

.

Conclusion. The length of the period of the repeating decimal representation of is

(*) Edited a little bit to improve the English text.

A much more sophisticated and elegant solution by Philipp Lampe was posted by one of the authors of this excellent advanced mathematical blog.