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Prove que  qualquer número representado por uma dízima periódica é racional.

 

Se considerar, como exemplo, o número 0,\overline{150}, em que a barra, nesta notação, significa que o grupo de 3 dígitos 150 se repete indefinidamente

0,\overline{150}=0,150\,150\,150\,\ldots

posso escrevê-lo na forma

0,\overline{150}=\dfrac{150}{10^{3}}+\dfrac{150}{10^{6}}+\dfrac{150}{10^{9}}+\cdots

e calcular agora a soma da progessão geométrica de razão 10^{-3} e primeiro termo 0,150

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{150}{10^{3n}}=\dfrac{0,150}{1-10^{-3}}=\dfrac{150}{10^{3}-1}=\dfrac{50}{333}.

No segundo exemplo tomo o número 0,3\overline{150} como ilustrativo do caso em que a dízima não começa imediatamente a seguir à  vírgula. Assim, usando o resultado anterior

0,3\overline{150}=0,3+0,1\times 0,\overline{150}=0,3+0,1\times \dfrac{50}{333}=\dfrac{1049}{3330}.

No úlltimo exemplo, considero -2,3\overline{150}. Será

-2,3\overline{150}=-\left( 2,3\overline{150}\right)=-\left( 2+0,3\overline{150}\right)=-\left( 2+\dfrac{1049}{3330}\right)=-\dfrac{7709}{3330}.

O caso geral é simplesmente o de uma dízima periódica com p dígitos, bastando, como se viu,  mostrar a propriedade para os números do tipo 0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}} , porque os outros são uma consequência imediata.

O número cujos dígitos são os que estão sob a barra tem o valor inteiro [corrigido, ver comentário]

N=10^{0}a_{0}+10^{1}a_{1}+\cdots +10^{p-1}a_{p-1}

Sendo assim, usando o mesmo raciocínio do primeiro exemplo, tem-se

0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}}=\dfrac{N}{10^{p}}+\dfrac{N}{10^{2p}}+\cdots =\dfrac{N/10^{p}}{1-10^{-p}}=\dfrac{N}{10^{p}-1}.

Exemplo de aplicação: x=0,151515\ldots \;\;y=1,2151515\ldots

Para x=0,\overline{15}, N=10^{0}\times 5+10^{1}\times 1=15,x=\dfrac{15}{10^{2}-1}=\dfrac{15}{99}. De x deduz-se y

y=1,2\overline{15}=1+0,2+0,1x=\dfrac{12}{10}+\dfrac{1}{10}\dfrac{15}{99}=\dfrac{401}{330}.

Exercício: determine o número racional representado na forma decimal por 0,\;3311111\ldots.

Resposta:

\dfrac{149}{450}

[Actualização de 22-9-2008: acrescentado pdf]