Série uniforme de pagamentos: Formação de capital – cálculo financeiro

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Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de n pagamentos constantes A à taxa de juro i e que pretende saber qual a relação entre o capital F, no fim dos n períodos, e o valor de A.

O primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos. O segundo, durante n-2 e, em geral, o do período k, durante n-k períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período k é

F_k=A(1+i)^{n-k}.

Se somarmos todos os valores futuros F_k, para k=1,2,\dots,n, atendendo à fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de razão c e primeiro termo u_1, que é igual a

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1},

em que, neste caso, u_1=A (ver a seguir \displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}) e c=1+i, obtém-se

F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}.

Se exprimirmos A em função de F, virá

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}.

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos A são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro i permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de 5\%, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 10\; 000 unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de 10\%?

Neste caso devemos determinar A, conhecida a taxa de juro i=5\% e o valor futuro F=10\; 000, para n=10:

A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05 unidades monetárias.

Para n=20

A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43 unidades monetárias.

Se i=10\%, tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, 627,45 e 174,60 unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de n anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for r, a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a e^r-1, pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}

 

 P. S. corrigido erro num somatório. Usado c para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa  r do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação F/A em função da taxa de juro i para n=10 períodos

 E como determinar i conhecidos A,F e n? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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