Problemas Teoremas

Agosto 18, 2008

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Demonstração,Desigualdades matemáticas,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:06 am
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A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^2\leq\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\right)   

Demonstração 

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu discriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

 

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3} desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

[Actualização de 30-9-2008: acrescentado pdf]

ADENDA de 27-11-2008: esta desigualdade é uma consequência directa da identidade de Lagrange demonstrada nesta entrada

Correcção de 1-12-2008: na segunda desigualdade do Teorema

11 Comentários »

  1. muito bonita a demonstraçao.

    valeu

    Comentário por queso — Setembro 28, 2008 @ 2:28 am | Responder

  2. queso,

    Obrigado pelo seu comentário. Fico especialmente contente por ter reconhecido que pode haver beleza na matemática.

    Comentário por Américo Tavares — Setembro 28, 2008 @ 10:43 am | Responder

  3. Muiito boa. Ajudou-me muitoo

    Comentário por Silva — Março 19, 2009 @ 5:41 pm | Responder

  4. Caro Silva,

    Ainda bem!

    Comentário por Américo Tavares — Março 22, 2009 @ 11:04 pm | Responder

  5. Encontrei um erro, por mais q seja mín.
    Há um erro no índice do x..

    Mas msmo assim vlw

    Comentário por Doug Matemático — Setembro 20, 2009 @ 9:40 pm | Responder

  6. Demonstração muito curta, excelente. Pena que não consegui resolvê-la no curso de verão que estou fazendo para o mestrado em Matemática, pois essa era tão fácil.

    Comentário por tj — Janeiro 22, 2010 @ 8:43 pm | Responder

  7. PROBLEMA: a combinação de 7 numeros diferentes combinados 2 a 2 resulta em 21 combinações diferentes. Se distribuírmos estas combinações em um triângulo cujos vértices são cada numero , obteremos 7 triângulos.

    Comentário por Sartorelli — Janeiro 29, 2010 @ 11:48 am | Responder

    • Caro Sartorelli

      Não percebo o que o seu Problema tem a ver com esta desigualdade.

      Quanto à primeira parte do enunciado («a combinação de 7 numeros diferentes combinados 2 a 2 resulta em 21 combinações diferentes») é clara:

      C_{2}^{7}=\dfrac{7!}{2!5!}=\dfrac{7\times 6}{2}=21.

      O que também não é para mim claro é o que diz no resto — «Se distribuírmos estas combinações em um triângulo cujos vértices são cada numero , obteremos 7 triângulos». Pode esclarecer-me?
      Obrigado.

      Comentário por Américo Tavares — Janeiro 29, 2010 @ 9:14 pm

  8. Agradeço muito à sua dedução da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, foi muito útil para meus estudos na disciplina de Sistemas Lineares do mestrado de Engenharia Elétrica.

    Comentário por Anderson Machado Ferreira — Março 23, 2010 @ 7:03 pm | Responder

    • Muito obrigado.

      Pode se ainda não o tiver feito ver a identidade de Lagrange (aqui) da qual esta desigualdade é um simples corolário.

      Comentário por Américo Tavares — Março 23, 2010 @ 8:00 pm


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