Problema simples resolvido sobre idades de pais e filhos

Um casal e os seus dois filhos têm conjuntamente 85 anos. A filha é mais velha cinco anos do que o irmão e o pai mais dois do que a mãe. Calcular a idade actual de cada um sabendo que daqui a dois anos a mãe tem o triplo da idade da filha.

Resolução

Se designar por x a idade actual da filha, o filho tem agora x-5 anos. Se a idade actual da mãe for y, a do pai será y+2. Daqui a dois anos a idade da mãe será y+2 e a da filha x+2. Pelo enunciado sabe-se que

y+2=3(x+2)

que é equivalente a

y=3x+4 (1)

E também se sabe que a soma das idades é igual a 85:

x+(x-5)+y+(y+2)=85 (2)

Substituindo a equação (1) em (2) vem

x+(x-5)+3x+4+(3x+4+2)=85

ou, de forma equivalente

x+x+3x+3x=85+5-4-4-2

8x=80

x=10.

A idade actual da filha é então de 10 anos e a do irmão 5. A mãe tem agora 

y=3x+4=34 anos

e o pai 36.

Confirmando: 36+34+10+5=85 e 34+2=3\times (10+2)=36.

ADENDA DE 28-8-2008: Outro método de resolução poderá ser o que passo a expor, que necessita apenas da resolução de uma equação numa única variável. Acho, no entanto, que até é mais difícil do que o anterior.

Se x for a idade actual da filha do casal, a do filho é x-5. Daqui a dois anos a idade da filha será x+2 anos e a da mãe 3(x+2), pelo que a mãe hoje tem 3(x+2)-2=3x+6-2=3x+4 anos e o pai 3x+4+2=3x+6. Em resumo, as idades actuais dos filhos e dos pais são:

x, a da filha; x-5, do filho; 3x+4, da mãe; 3x+6, do pai.

Somando todas as idades há-de dar 85:

x+x-5+3x+4+3x+6=85

Agrupando os termos em x e os independentes da equação vem:

8x=80
x=\dfrac{80}{8}=10.
A fiha tem pois 10 anos, o filho 10-5=5, a mãe 3(10)+4=34 e o pai 3(10)+6=36.
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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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32 respostas a Problema simples resolvido sobre idades de pais e filhos

  1. Victória Kao diz:

    Oi eu so a Victória Kao e gostei muito das perguntas e eu fiz de cabeça a conta adorei muito se vocês puderem mandaram mais calculos avancados por e-mail eu iria agradecer e fazer mais perguntas pq esse site é muito bom para aprender sobre a matemática !!!!! Adorei muito beijos

  2. Os problemas das idades são ideais para os alunos se familiarizarem com a natureza extremamente sintética da nomenclatura algébrica, como bem ficou patente no exemplo. Extripadas de relações não essenciais, chegamos a expressões como:
    x (elemento genérico de um conjunto, variável) – no caso, a idade da filha
    x+2 a idade da mesma pessoa daqui a dois anos
    x-5 a idade do irmão mais novo
    e por aí adiante.
    Relações como:
    dobro, triplo, quádruplo (multiplicativas): 2x, 3x, 4x
    metade, terço, quarto (fraccionárias): x/2, x/3, x/4
    muito importante: é (ou outro verbo): =
    fariam uma bela tabela de “tradução algébrica” da linguagem corrente.
    Parabéns pela escolha do exercício.
    Continuação de boas festas.

  3. Victória,

    Fiquei contente com o que me disse. Sobre perguntas, testes, questões ou exercícios adicionais não tenho tempo de os conceber de forma original e útil, para além do que aqui vou publicando.

    António,

    De forma intencional preparei este post de maneira a dar mais ênfase ao processo de pôr o problema em equação(ões) do que a resolvê-la(s). Por isso, utilizei um exemplo numericamente simples.
    Penso que funcionou, pelo teor do comentário anterior.
    Concordo com o que diz e obrigado pelos parabéns.

  4. Mosca diz:

    Legal, se eu não aprender agora “me mato!”…haiehaieh

    ótima explicação.

  5. enoque diz:

    muito bom aprendi muito!!!!!!!!!!!!!

  6. jef diz:

    QUERIA RESPOSTA PARA ESTE EX. UM PAI TEM 42 ANOS E O FILHO 12. DAQUI À QUANTOS ANOS O PAI TERÁ O DOBRO DA IDADE DO FILHO?
    VALEU.

    • sarah salvatore diz:

      54

    • ABPC diz:

      A resoluçao q eu tive desse problema eh bm + simples q a do problema + acima (mesmo porq há menos fatores a saber): fazemos a diferença entre as 2 idades (42-12=30). Portanto, temos q saber daki a quantos anos o filho vai ter 30 anos, fazendo a diferença entre a idade futura e a idade atual: 30-12=18. Se efetuarmos 12+18=30; 42+18=60 veremos q 60/30=2, portanto a resposta é 18 anos

  7. Seja n o número de anos ao fim dos quais o pai terá o dobro da idade do filho. Como a idade actual do filho é 12, daqui a n anos será n+12 e a do pai, n+42. A idade do pai (n+42) será dupla da do filho (n+12), pelo que n+42=2(n+12). Esta equação é equivalente a n+42=2n+24, ou a 42-24=2n-n, ou ainda a 18=n. Confirmando, daqui a 18 anos o pai terá 18+42=60 e o filho, 18+12=30, metade da idade do pai.

  8. edileuza maria da silva souza diz:

    Gostaria da resposta desse desafio: oliveira tem três filhos: Alencar, Artur e Antônio. A idade de Alencar é 3 vezes maior que a idade de Artur e a idade de Antônio é 5 vezes menor que a idade de Artur. Se a idade de Artur é 15 anos , responda: Qual a idade de Alencar e de Antônio?

    • Pedro diz:

      Alencar=x; Artur = y; Antônio=z

      x=3y
      z=y/5
      y=15

      x=3(15)
      z=15/5
      x=45
      z=3

      ou
      y=x/3
      y=5z

      15=x/3=5z
      z=3
      x=45

      Pedro

  9. Ilanete diz:

    Gostaria da resposta desse desafio: Há 14 anos a idade do pai era o triplo da idade do filho. Hoje o filho tem 27 anos e o pai?

  10. thales diz:

    estou com duvida no seguinte ex.: o percentual de lucro sobre o preço de custo corresponde a um lucro de 75% sobre o preço de venda é igual a: ??

  11. tamiris diz:

    há 14 anos a idade do pai era o triplo da idade do filho.HOJE O FILHO TEM 27 ANOS E O PAI?
    Reposta O pai tem hoje 47 anos

    • geraldo diz:

      hoje o pai 53 anos pois há 14 anos ele tinha o triplo da idade do filho(13anos), 39 anos + 14 anos =53 anos

  12. Marcelo Ribeiro diz:

    X-14=3.(27-14)
    X-14=3.13
    X-14=39
    X=39+14
    X=53
    A IDADE DO PAI É 53 ANOS!

  13. Aline diz:

    Como resolver . Atualmente a soma das idades de dois irmãos é 17 anos. Daqui a 5 anos o irmão mais velho terá 14 anos.
    Qual será a idade do irmão mais novo?

    • geraldo diz:

      se o + velho daqui a 5 anos terá 14 anos , então 14-5=9 anos atualmente que o +velho tem; 17 anos(que é a soma das idades dos dois atualmente) menos 9 é igual a 8 que é a idade atual do + novo e daqui a 5 anos ele terá 13 anos de idade

  14. jocimar diz:

    como se resolve este: João tem 48 anos e seus filhos têm 16 e 18 anos. Quantos anos terá o filho mais velho quando a
    idade de João for igual à soma das idades de seus filhos?

    • Edson diz:

      n + 48 = 2 n+ 34
      n = 14 isso acontecerá a 14 anos
      18 + 14 = 32 anos filho mais velho
      16 + 14 = 30 anos filho mais novo
      14 +48 = 62 idade do pai

  15. Benedita Bonifácio Pinto diz:

    Muitíssimo obrigada,valeu essa resposta

  16. geraldo diz:

    como resolver essa: No dia 12 de abril de 2014,Paula e Ana comemoraram seus aniversários.Nessa data,a idade que Paula tem equivale ao triplo da idade que Ana tinha no dia 12 de abril de 1994, sabendo que a idade que Paula tinha no dia 12 de abril de 1994 equivale á idade que Ana tem no dia 12 de abril de 2014, calcule a soma das idades que Ana e Paula têm no dia 12 de abril de 2014.

  17. Isabella Flores diz:

    como resolver essa: há oito anos a idade de ana era um quarto da idade que terá daqui a m ano. qual a idade de ana em anos?

  18. Caros comentadores,

    Mais uma vez peço para que não utilizem as caixas de comentários para pedir ajuda sobre a resolução de um dado problema, quase sempre faltando o contexto em que ele aparece e sem indicarem as tentativas que fizeram para o resolver. Na maioria das vezes não respondo ou remeto o leitor para o site de perguntas e respostas, em inglês, Mathematics Stack Exchange, onde quaisquer problemas matemáticos são bem recebidos, desde que quem coloca a questão mostre o esforço já efectuado para a resolver e não se limite a apresentar um mero enunciado de um problema.

    Também chamo à atenção que os problemas que não têm a ver com o assunto de cada uma das entradas sejam colocados nos comentários da página Problemas dos leitores, que aí poderão eventualmente serem respondidos, mas sem qualquer garantia, como lá explico:

    «Os problemas que os leitores aqui coloquem, poderão eventualmente ser respondidos por outros leitores ou por mim, sem qualquer compromisso firme da minha parte por manifesta falta de tempo, da natureza deste blogue e/ou falta de conhecimentos.»

  19. como resolver este: a soma da idade da minha idade, com a idade da minha filha é de 47 anos, sendo que eu sou mais velho do que ela 41 anos. quantos anos minha filha tem de idade

    • Admito que tenha pretendido escrever:

      ” a soma da idade da minha idade, com a idade da minha filha é de 47 anos, sendo que eu sou mais velha do que ela 41 anos. quantos anos minha filha tem de idade”

      A resolução pode ser, por exemplo, a seguinte:

      Se m designar a idade da mãe e m, a da filha, a equação

      m+f=47\qquad(1)

      traduz a informação de que “a soma da idade da minha idade, com a idade da minha filha é de 47 anos”; e a equação

      m=f+41\qquad(2),

      a informação de que “sou [a mãe] mais velha do que ela [a filha] 41 anos”. Substituindo (2) em (1), ficamos com a equação

      f+41+f=47\qquad(2),

      que resolvida dá f=3. Ou seja a filha tem 3 anos.

      Alternativamente poderia escrever as somas e diferenças seguintes

      41+6=47, 41-6=35,
      42+5=47, 42-5=37,
      43+4=47, 43-4=39,
      44+3=47, 44-3=41,\quad(\ast)
      45+2=47, 45-2=43,

      para ver que a mãe há-de ter 44 anos e a filha 3

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