Um casal e os seus dois filhos têm conjuntamente 85 anos. A filha é mais velha cinco anos do que o irmão e o pai mais dois do que a mãe. Calcular a idade actual de cada um sabendo que daqui a dois anos a mãe tem o triplo da idade da filha.

Resolução

Se designar por x a idade actual da filha, o filho tem agora x-5 anos. Se a idade actual da mãe for y, a do pai será y+2. Daqui a dois anos a idade da mãe será y+2 e a da filha x+2. Pelo enunciado sabe-se que

y+2=3(x+2)

que é equivalente a

y=3x+4 (1)

E também se sabe que a soma das idades é igual a 85:

x+(x-5)+y+(y+2)=85 (2)

Substituindo a equação (1) em (2) vem

x+(x-5)+3x+4+(3x+4+2)=85

ou, de forma equivalente

x+x+3x+3x=85+5-4-4-2

8x=80

x=10.

A idade actual da filha é então de 10 anos e a do irmão 5. A mãe tem agora 

y=3x+4=34 anos

e o pai 36.

Confirmando: 36+34+10+5=85 e 34+2=3\times (10+2)=36.

ADENDA DE 28-8-2008: Outro método de resolução poderá ser o que passo a expor, que necessita apenas da resolução de uma equação numa única variável. Acho, no entanto, que até é mais difícil do que o anterior.

Se x for a idade actual da filha do casal, a do filho é x-5. Daqui a dois anos a idade da filha será x+2 anos e a da mãe 3(x+2), pelo que a mãe hoje tem 3(x+2)-2=3x+6-2=3x+4 anos e o pai 3x+4+2=3x+6. Em resumo, as idades actuais dos filhos e dos pais são:

x, a da filha; x-5, do filho; 3x+4, da mãe; 3x+6, do pai.

Somando todas as idades há-de dar 85:

x+x-5+3x+4+3x+6=85

Agrupando os termos em x e os independentes da equação vem:

8x=80
x=\dfrac{80}{8}=10.
A fiha tem pois 10 anos, o filho 10-5=5, a mãe 3(10)+4=34 e o pai 3(10)+6=36.