Nesta entrada, em inglês, apresentei a seguinte solução para o Integral of the Week #2, onde se pede para calcular o integral

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi}

sem ser pelo método mais habitual, que envolve a utilização de coordenadas polares.

Resolução

Começo por mostrar que 

\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}y^{2}}\; dx=I,

em que

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\; dx.

De seguida, para deduzir o valor de I, calculo I^2 trocando a ordem de integração.

O “The second Integral Of The Week” é igual a 2I:

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\; dx=2I.

Se x>0, então

\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}y^{2}}\; dx=x\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-{xy}^2}\; dx=x\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-u^2}\dfrac{du}{x}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-u^2}\; du=I.

Assim,

I^2=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\; dx\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}y^{2}}\; dy =\displaystyle\int_{0}^{\infty}dy\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}e^{-x^{2}y^{2}}\; dx =\displaystyle\int_{0}^{\infty}dy\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}(1+y^2)}\; dx =\displaystyle\int_{0}^{\infty}dy\dfrac{1}{2\left( 1+y^{2}\right) }\left[ -e^{-x^{2}\left( 1+y^{2}\right) }\right] _{x=0}^{\infty } =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{-e^{-\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }x}+e^{0}}{2\left( 1+y^{2}\right) }\; dy =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{2\left( 1+y^{2}\right) }\; dy

=\dfrac{1}{2}\left[ \tan^{-1}y\right] _{y=0}^{\infty } =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{2}-0\right) =\dfrac{\pi}{4},

pelo que

I=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

e

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\; dx=2I=\sqrt{\pi}.

\square

- : – : -

Nota: dado que

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt,

por substituição, chega-se a

 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\; dx=2I=\sqrt{\pi}=\Gamma \left(\dfrac{1}{2}\right) .

Aplique uma substituição adequada.