pdf: ver caderno
A hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto 
de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide — não confundir com asteróide — e as suas equações paramétricas são
e a cartesiana,
.
O gráfico, para 
, é o seguinte
Sabe-se (*) que se a derivada de uma função real 
existir e for contínua no intervalo 
, o gráfico de é rectificável e o seu comprimento 
, entre os dois pontos de abcissa 
e 
, é dado por
![L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx](http://s0.wp.com/latex.php?latex=L%3D%5Cdisplaystyle%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Csqrt%7B1%2B%5Cleft%5B+f%5E%7B%5Cprime+%7D%5Cleft%28+x%5Cright%29+%5Cright%5D+%5E%7B2%7D%7D%5C%3B+dx&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx")
(1)
ou, se 
forem funções reais da variável real 
,
com primeira derivada contínua, então
![L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt](http://s0.wp.com/latex.php?latex=L%3D%5Cdisplaystyle%5Cint_%7Bt_%7B0%7D%7D%5E%7Bt_%7B1%7D%7D%5Csqrt%7B%5Cleft%5B+%5Cvarphi+%5E%7B%5Cprime+%7D%5Cleft%28+t%5Cright%29+%5Cright%5D+%5E%7B2%7D%2B%5Cleft%5B+%5Cpsi+%5E%7B%5Cprime+%7D%5Cleft%28+t%5Cright%29+%5Cright%5D+%5E%7B2%7D%7D%5C%3B+dt&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt")
(2).
Determine o perímetro da curva representada ().
Sugestão: calcule através do integral (2) o comprimento do troço da astróide definido por 
e daí obtenha o perímetro.
Resposta: 
Resolução:
Vou seguir a sugestão, uma vez que a curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, o seu perímetro é quatro vezes o valor do integral seguinte
![I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \sin^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt](http://s0.wp.com/latex.php?latex=I%3D%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%2F2%7D%5Csqrt%7B%5Cleft%5B+%5Cleft%28+%5Ccos%5E3+t%5Cright%29%5E%7B%5Cprime+%7D%5Cright%5D+%5E%7B2%7D%2B%5Cleft%5B+%5Cleft%28+%5Csin%5E3+t%5Cright%29%5E%7B%5Cprime+%7D%5Cright%5D+%5E%7B2%7D%7D%5C%3B+dt&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \sin^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt")
![=3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D3%5Cleft%5B+%5Cdfrac%7B%5Csin+%5E%7B2%7Dt%7D%7B2%7D%5Cright%5D+_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi+%2F2%7D%3D3%5Ctimes%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "=3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}")
;
logo
.
Edição de 30-9-2008: acrescentado pdf e corrigida uma gralha num integral
(*) Justificação nesta minha entrada.
Gostar disto:
Gosto Carregando...
Sobre Américo Tavares
eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
