Nesta entrada enunciei este problema dividido em duas partes:

1. Quais são os dois números que somados dão 20 e multiplicados, 75?

2. A soma de dois números a e b é s e o seu produto p. Determine os números e justifique.

Apresento agora uma possível

Resolução

1. Designando os dois números que pretendemos achar por x,y, sabemos que x+y=20 e que xy=75. Ou seja, como y=20-x,

x(20-x)=75\Leftrightarrow 20x-x^2=75\Leftrightarrow x^2-20x+75=0.

As duas soluções desta equação são

x_1=\dfrac{20+\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20+10}{2}=15

x_2=\dfrac{20-\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20-10}{2}=5

a que correspondem, respectivamente, y_1=20-15=5 e y_2=20-5=15. Os números procurados são, então, o 15 e o 5.

2. Este mesmo método aplicado agora a este caso geral, traduz-se em: a+b=s e ab=p. Ou seja, como b=s-a,

a(s-a)=p\Leftrightarrow sa-a^2=p\Leftrightarrow a^2-sa+p=0.

As duas soluções desta equação são

a_1=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

a_2=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}

a que correspondem, respectivamente, b_1=s-a_1 e b_2=s-a_2. Mas,

b_1=s-a_1=s-\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_2

e

b_2=s-a_2=s-\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_1.

Por este motivo, os números que satisfazem o enunciado são

\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

e

\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}.